求给定两个数的最小公倍数

给定两个数，求它们度量的最小的数。

ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· δεῖ δὴ εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν. 设给定的两个数为 A、B；这就需要求它们度量的最小的数。

οἱ Α, Β γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ. ἔστωσαν πρότερον οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. οἱ Α, Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α, Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. μετρείτωσαν τὸν Δ. 因为 A、B 或者彼此互素，或者不。 先设 A、B 彼此互素，且设 A 乘以 B 得到 Γ；因此，B 乘以 A 也得到了 Γ。 所以 A、B 度量 Γ。 我且声称，它也是最小的。 因为，如果不是， A、B 将度量某个比 Γ 小的数。 设它们度量 Δ。 καὶ ὁσάκις ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν ἑκάστῳ τῶν Ε, ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ· ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Ε τῷ ἐκ τῶν Β, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε. 且设在 E 中有与 A 度量 Δ 的次数相同多的单位，而在 Z 中有与 B 度量 Δ 的次数相同多的单位；因此，A 乘以 E 得到了 Δ，而 B 乘以 Z 得到了 Δ。 所以由 A、E 产生的积等于由 B、Z 产生的积。 所以，正如 A 对 B，Z 也对 E。 οἱ δὲ Α, Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα· ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ, ὡς ἑπόμενος ἑπόμενον. 但是 A、B 互素，而互素的数也是最小的，而最小的数同样次数地度量与它们具有相同比的数，较大者度量较大者，较小者度量较小者；所以 B 度量 E，作为后件度量后件。

καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Β, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Γ, Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Ε· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α, Β μετροῦσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. ὁ Γ ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β μετρεῖται. 且既然 A 乘以 B、E 得到了 Γ、Δ，所以，正如 B 对 E，Γ 也对 Δ。

但是 B 度量 E；所以 Γ 也度量 Δ，较大者度量较小者；这是不可能的。

所以， A、B 不度量任何比 Γ 小的数。 所以 Γ 是由 A、B 度量的最小的数。

μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β οἱ Ζ, Ε· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Ε τῷ ἐκ τῶν Β, Ζ. 接下去，设 A、B 彼此不互素，且设与 A、B 具有相同比的数中最小的数为 Z、E；所以由 A、E 产生的积等于由 B、Z 产生的积。 καὶ ὁ Α τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· οἱ Α, Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α, Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. μετρείτωσαν τὸν Δ. 且设 A 乘以 E 得到 Γ；因此，B 乘以 Z 也得到了 Γ；所以 A、B 度量 Γ。

我且声称，它也是最小的。

因为，如果不是，A、B 将度量某个比 Γ 小的数。 设它们度量 Δ。 καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Η, ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Θ. ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν. ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Η τῷ ἐκ τῶν Β, Θ· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. 且设在 H 中有与 A 度量 Δ 的次数相同多的单位，而在 Θ 中有与 B 度量 Δ 的次数相同多的单位。 因此，A 乘以 H 得到了 Δ，而 B 乘以 Θ 得到了 Δ。 所以由 A、H 产生的积等于由 B、Θ 产生的积；所以，正如 A 对 B，Θ 也对 H。 ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε· καὶ ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. οἱ δὲ Ζ, Ε ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα· ὁ Ε ἄρα τὸν Η μετρεῖ. 但是，正如 A 对 B，Z 也对 E；因此，正如 Z 对 E，Θ 也对 H。 但是 Z、E 是最小的，而最小的数同样次数地度量与它们具有相同比的数，较大者度量较大者，较小者度量较小者；所以 E 度量 H。

καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Ε, Η πολλαπλασιάσας τοὺς Γ, Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὁ δὲ Ε τὸν Η μετρεῖ· καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α, Β μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. ὁ Γ ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 且既然 A 乘以 E、H 得到了 Γ、Δ，所以，正如 E 对 H，Γ 也对 Δ。

但是 E 度量 H；所以 Γ 也度量 Δ，较大者度量较小者；这是不可能的。

所以，A、B 不度量任何比 Γ 小的数。 所以 Γ 是由 A、B 度量的最小的数；这就是所要证明的。