§7.prop.32ἅπας ἀριθμὸς ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
すべての数は、素数であるか、またはある素数によって測られる。
ἔστω ἀριθμὸς ὁ Α·
Α をある数とせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Α ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
私は、Α が素数であるか、またはある素数によって測られると主張する。
εἰ μὲν οὖν πρῶτός ἐστιν ὁ Α, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν.
したがって、もし Α が素数であるならば、命じられたことはなされたことになるであろう。
εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν πρῶτος ἀριθμός.
しかし、もし合成数であるならば、ある素数がそれを測るであろう。
ἅπας ἄρα ἀριθμὸς ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται·
したがって、すべての数は、素数であるか、またはある素数によって測られる。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.33ἀριθμῶν δοθέντων ὁποσωνοῦν εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
任意の個数の与えられた数に対して、それらと同じ比を持つ数のうちで最小のものを求めること。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ.
οἱ Α, Β, Γ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ.
与えられた任意の個数の数を Α, Β, Γ とせよ。そうして、Α, Β, Γ と同じ比を持つ数のうちで最小のものを求めねばならない。なぜなら、Α, Β, Γ は互いに素であるか、そうでないかのいずれかであるからである。 Α, Β, Γ と同じ比を持つ数のうちで最小のものを求めねばならない。
εἰ μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
もし Α, Β, Γ が互いに素であるならば、それらはそれらと同じ比を持つ数のうちで最小のものである。 もし Α, Β, Γ が互いに素であるならば、それらはそれらと同じ比を持つ数のうちで最小のものである。
εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ, καὶ ὁσάκις ὁ Δ ἕκαστον τῶν Α, Β, Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν ἑκάστῳ τῶν Ε, Ζ, Η. καὶ ἕκαστος ἄρα τῶν Ε, Ζ, Η ἕκαστον τῶν Α, Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας.
しかし、もしそうでないならば、Α, Β, Γ の最大公約数を Δ とせよ。そして Δ が Α, Β, Γ のそれぞれを測る回数と同じだけの単位が、Ε, Ζ, Η のそれぞれにあるとせよ。したがってまた、Ε, Ζ, Η のそれぞれは、Δ の中の単位の数に応じて、Α, Β, Γ のそれぞれを測る。 そして Δ が Α, Β, Γ のそれぞれを測る回数と同じだけの単位が、Ε, Ζ, Η のそれぞれにあるとせよ。 したがってまた、Ε, Ζ, Η のそれぞれは、Δ の中の単位の数に応じて、Α, Β, Γ のそれぞれを測る。
οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἰσάκις μετροῦσιν·
したがって、Ε, Ζ, Η は Α, Β, Γ を同じ回数だけ測る。
οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα τοῖς Α, Β, Γ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν.
したがって、Ε, Ζ, Η は Α, Β, Γ と同じ比にある。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι.
私はさらに、それらが最小でもあると主張する。
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ, ἔσονται τῶν Ε, Ζ, Η ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β, Γ. ἔστωσαν οἱ Θ, Κ, Λ·
なぜなら、もし Ε, Ζ, Η が、Α, Β, Γ と同じ比を持つ数のうちで最小のものでないならば、Ε, Ζ, Η より小さい数であって、Α, Β, Γ と同じ比にあるものが存在するであろう。 それらを Θ, Κ, Λ とせよ。
ἰσάκις ἄρα ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ καὶ ἑκάτερος τῶν Κ, Λ ἑκάτερον τῶν Β, Γ. ὁσάκις δὲ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Μ·
したがって、Θ が Α を測る回数と同じ回数だけ、Κ, Λ のそれぞれが Β, Γ のそれぞれを測る。 そして、Θ が Α を測る回数と同じだけの単位が Μ の中にあるとせよ。
καὶ ἑκάτερος ἄρα τῶν Κ, Λ ἑκάτερον τῶν Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας.
したがってまた、Κ, Λ のそれぞれは、Μ の中の単位の数に応じて、Β, Γ のそれぞれを測る。
καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας, καὶ ὁ Μ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Θ μονάδας.
そして、Θ は Μ の中の単位の数に応じて Α を測るので、Μ もまた Θ の中の単位の数に応じて Α を測る。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁ Μ καὶ ἑκάτερον τῶν Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν ἑκατέρῳ τῶν Κ, Λ μονάδας·
同じ理由により実のところ、Ｍもまた、Κ, Λ のそれぞれにおける単位の数に応じて、Β, Γ のそれぞれを測る。
ὁ Μ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ.
したがって、Μ は Α, Β, Γ を測る。
καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας, ὁ Θ ἄρα τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
そして、Θ は Μ の中の単位の数に応じて Α を測るので、したがって Θ は Μ を掛けて Α を作った。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
同じ理由により実のところ、Ε もまた Δ を掛けて Α を作った。
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Ε, Δ τῷ ἐκ τῶν Θ, Μ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Μ πρὸς τὸν Δ. μείζων δὲ ὁ Ε τοῦ Θ·
したがって、Ε, Δ の積は Θ, Μ の積に等しい。 したがって、Ε の Θ に対する比は、Ｍの Δ に対する比に等しい。 ところで、Ε は Θ より大きい。
μείζων ἄρα καὶ ὁ Μ τοῦ Δ. καὶ μετρεῖ τοὺς Α, Β, Γ·
したがって、Ｍもまた Δ より大きい。 そしてそれは Α, Β, Γ を測る。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
これは不可能である。
ὑπόκειται γὰρ ὁ Δ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον.
なぜなら、Δ は Α, Β, Γ の最大公約数であると仮定されているからである。
οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Ε, Ζ, Η ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β, Γ. οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ·
したがって、 Ε, Ζ, Η より小さい数であって、Α, Β, Γ と同じ比にあるものは存在しないであろう。 したがって、Ε, Ζ, Η は、Α, Β, Γ と同じ比を持つ数のうちで最小のものである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。