§7.prop.29ἅπας πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα ἀριθμόν, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτός ἐστιν.
すべての素数は、自身が測らないすべての数に対して素である。
ἔστω πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Α καὶ τὸν Β μὴ μετρείτω·
Α を素数とし、Β を測らないとせよ。
λέγω, ὅτι οἱ Β, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
私は、Β, Α が互いに素であると主張する。
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Β, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός. μετρείτω ὁ Γ. ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, ὁ δὲ Α τὸν Β οὐ μετρεῖ, ὁ Γ ἄρα τῷ Α οὔκ ἐστιν ὁ αὐτός. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τοὺς Β, Α μετρεῖ, καὶ τὸν Α ἄρα μετρεῖ πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς Β, Α μετρήσει τις ἀριθμός. οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
なぜなら、もし Β, Α が互いに素でないならば、ある数がそれらを測るであろう。それを Γ とし、測るものとせよ。Γ は Β を測るが、Α は Β を測らないので、したがって Γ は Α と同一ではない。そして Γ は Β, Α を測るので、したがってそれは、それ（Α）と同一でないながらも、素数である Α を測ることになる。 それを Γ とし、測るものとせよ。 Γ は Β を測るが、Α は Β を測らないので、したがって Γ は Α と同一ではない。 そして Γ は Β, Α を測るので、したがってそれは、それ（Α）と同一でないながらも、素数である Α を測ることになる。これは不可能である。したがって、Β, Α を測る数はいかなる数も存在しないであろう。したがって、Α, Β は互いに素である。 これは不可能である。 したがって、Β, Α を測る数はいかなる数も存在しないであろう。 したがって、Α, Β は互いに素である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.30ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει.
もし2つの数が互いに掛けてある数を作り、それらから生じた積をある素数が測るならば、それは最初の数のうちの少なくとも一方をも測るであろう。
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους τὸν Γ ποιείτωσαν, τὸν δὲ Γ μετρείτω τις πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Δ·
なぜなら、2つの数 Α, Β が互いに掛けて Γ を作るものとし、その Γ をある素数 Δ が測るものとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Δ ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ.
私は、Δ が Α, Β のうちの一方を測ると主張する。
τὸν γὰρ Α μὴ μετρείτω· καί ἐστι πρῶτος ὁ Δ·
なぜなら、Α を測らないとせよ。そして Δ は素数である。
οἱ Α, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. καὶ ὁσάκις ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε τῷ ἐκ τῶν Α, Β. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Δ, Α πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐὰν τὸν Β μὴ μετρῇ, τὸν Α μετρήσει.
そして Δ は素数である。したがって、Α, Δ は互いに素である。精度、Δ が Γ を測る回数と同じだけの単位が Ε の中にあるとせよ。それゆえ、Δ は Ε の中の単位の数に応じて Γ を測るので、したがって Δ は Ε を掛けて Γ を作った。しかし一方、Α も Β を掛けて Γ を作った。 したがって、Α, Δ は互いに素である。 そして、Δ が Γ を測る回数と同じだけの単位が Ε の中にあるとせよ。 それゆえ、Δ は Ε の中の単位の数に応じて Γ を測るので、したがって Δ は Ε を掛けて Γ を作った。 しかし一方、Α も Β を掛けて Γ を作った。したがって、Δ, Ε の積は Α, Β の積に等しい。したがって、Δ の Α に対する比は、Β の Ε に対する比に等しい。ところで、Δ, Α は互いに素であり、互いに素な数は最小の数でもあり、最小の数は同じ比を持つ数を同じ回数だけ測り、大きい方は大きい方を、また小さい方は小さい方を、すなわち、前件は前件を、後件は後件を測る。 したがって、Δ, Ε の積は Α, Β の積に等しい。 したがって、Δ の Α に対する比は、Β の Ε に対する比に等しい。 したがって、Δ, Ε の積は Α, Β の積に等しい。したがって、Δ の Α に対する比は、Β の Ε に対する比に等しい。ところで、Δ, Α は互いに素であり、互いに素な数は最小の数でもあり、最小の数は同じ比を持つ数を同じ回数だけ測り、大きい方は大きい方を、また小さい方は小さい方を、すなわち、前件は前件を、後件は後件を測る。したがって、Δ は Β を測る。同様に、もし Β を測らないならば、Α を測ることも示されるであろう。 したがって、Δ は Β を測る。 同様に、もし Β を測らないならば、Α を測ることも示されるであろう。
ὁ Δ ἄρα ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ·
したがって、Δ は Α, Β のうちの一方を測る。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.31ἅπας σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
すべての合成数は、ある素数によって測られる。
ἔστω σύνθετος ἀριθμὸς ὁ Α· λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
Α を合成数とせよ。私は、Α がある素数によって測られると主張する。 私は、Α がある素数によって測られると主張する。
ʼἐπεὶ γὰρ σύνθετός ἐστιν ὁ Α, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Β. καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Β, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν. εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, ὁ δὲ Β τὸν Α μετρεῖ, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α μετρεῖ. καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Γ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν. εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός. τοιαύτης δὴ γινομένης ἐπισκέψεως ληφθήσεταί τις πρῶτος ἀριθμός, ὃς μετρήσει. εἰ γὰρ οὐ ληφθήσεται, μετρήσουσι τὸν Α ἀριθμὸν ἄπειροι ἀριθμοί, ὧν ἕτερος ἑτέρου ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἐν ἀριθμοῖς. ληφθήσεταί τις ἄρα πρῶτος ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ὃς καὶ τὸν Α μετρήσει.
なぜなら、Α は合成数であるので、ある数がそれを測るであろう。それを Β とし、測るものとせよ。そして、もし Β が素数であるなら、命じられたことはなされたことになるであろう。もし合成数であるなら、ある数がそれを測るであろう。それを Γ とし、測るものとせよ。そして Γ は Β を測り、Β は Α を測るので、したがって Γ も Α を測る。 それを Β とし、測るものとせよ。 そして、もし Β が素数であるなら、命じられたことはなされたことになるであろう。 もし合成数であるなら、ある数がそれを測るであろう。 それを Γ とし、測るものとせよ。 それを Γ とし、測るものとせよ。そして Γ は Β を測り、Β は Α を測るので、したがって Γ も Α を測る。そして、もし Γ が素数であるなら、命じられたことはなされたことになるであろう。もし合成数であるなら、ある数がそれを測るであろう。このような探索が行われるとき、それを測るある素数が得られるであろう。なぜなら、もし得られないならば、互いに他よりも小さい無限の数が数 Α を測ることになるが、 そして、もし Γ が素数であるなら、命じられたことはなされたことになるであろう。 もし合成数であるなら、ある数がそれを測るであろう。 このような探索が行われるとき、それを測るある素数が得られるであろう。 なぜなら、もし得られないならば、互いに他よりも小さい無限の数が数 Α を測ることになるが、これは数においては不可能である。したがって、それ自身の前の数を測り、かつ Α をも測るある素数が得られるであろう。 したがって、それ自身の前の数を測り、かつ Α をも測るある素数が得られるであろう。
ἅπας ἄρα σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται·
したがって、すべての合成数はある素数によって測られる。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。