互いに素な数の累乗と和における素の性質

もし2つの数が互いに素であり、それぞれの数がそれ自身を掛けてある数を作るならば、それらから生じた積も互いに素であろう。 また、たとえ最初の数がそれら生じた積を掛けてある数を作るとしても、それらもまた互いに素であろう。

ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω, ὁ δὲ Β ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἵ τε Γ, Ε καὶ οἱ Δ, Ζ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. 互いに素である2つの数を Α, Β とし、Α がそれ自身を掛けて Γ を作り、その Γ に掛けて Δ を作り、また Β がそれ自身を掛けて Ε を作り、その Ε に掛けて Ζ を作るとせよ。

私は、Γ, Ε および Δ, Ζ が互いに素であると主張する。

ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. ἐπεὶ οὖν οἱ Γ, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, οἱ Γ, Ε ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. πάλιν, ἐπεὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, οἱ Α, Ε ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. ἐπεὶ οὖν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Γ πρὸς δύο ἀριθμοὺς τοὺς Β, Ε ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοί εἰσιν, καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Γ ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν ἐκ τῶν Β, Ε πρῶτός ἐστιν. καί ἐστιν ὁ μὲν ἐκ τῶν Α, Γ ὁ Δ, ὁ δὲ ἐκ τῶν Β, Ε ὁ Ζ. οἱ Δ, Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. なぜなら、Α, Β は互いに素であり、Α がそれ自身を掛けて Γ を作ったので、したがって Γ, Β は互いに素である。

それゆえ、Γ, Β は互いに素であり、Β がそれ自身を掛けて Ε を作ったので、したがって Γ, Ε は互いに素である。

次に、 Α, Β は互いに素であり、Β がそれ自身を掛けて Ε を作ったので、したがって Α, Ε は互いに素である。

それゆえ、2つの数 Α, Γ が、別の2つの数 Β, Ε に対して、両方がそれぞれの相手に対して素であるので、したがって Α, Γ から生じた積も、Β, Ε から生じた積に対して素である。

そして、Α, Γ から生じた積は Δ であり、Β, Ε から生じた積は Ζ である。 したがって、Δ, Ζ は互いに素である。

これが証明されるべきことであった。

もし2つの数が互いに素であるなら、それらの和もまたそれらのそれぞれに対して素であろう。

また、もしそれらの和がそれらのうちのいずれか一つに対して素であるなら、最初の数らも互いに素であろう。

¦5 Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ ΑΓ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ πρῶτός ἐστιν. なぜなら、互いに素である2つの数 ΑΒ, ΒΓ が合わされているとせよ。

私は、それらの和である ΑΓ もまた、ΑΒ, ΒΓ のそれぞれに対して素であると主張する。

εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΓΑ, ΑΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις τοὺς ΓΑ, ΑΒ ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τοὺς ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΒΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΒΑ· ὁ Δ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς ΓΑ, ΑΒ ἀριθμούς ἀριθμός τις μετρήσει· οἱ ΓΑ, ΑΒ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. ὁ ΓΑ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ πρῶτός ἐστιν. なぜなら、もし ΓΑ, ΑΒ が互いに素でないならば、ある数が ΓΑ, ΑΒ を測るであろう。

測るものとし、それを Δ とせよ。 それゆえ、Δ は ΓΑ, ΑΒ を測るので、したがって残りの部分である ΒΓ も測るであろう。

しかし、それは ΒΑ も測る。

したがって、Δ は互いに素である ΑΒ, ΒΓ を測る。

これは不可能である。

したがって、数 ΓΑ, ΑΒ を測るようないかなる数も存在しないであろう。

したがって、ΓΑ, ΑΒ は互いに素である。

まったく同じ理由によって、ΑΓ, ΓΒ も互いに素である。

したがって、ΓΑ は ΑΒ, ΒΓ のそれぞれに対して素である。

ἔστωσαν δὴ πάλιν οἱ ΓΑ, ΑΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους· λέγω, ὅτι καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. そこで再び、ΓΑ, ΑΒ が互いに素であるとせよ。

私は、ΑΒ, ΒΓ もまた互いに素であると主張する。

εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις τοὺς ΑΒ, ΒΓ ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΓΑ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΑΒ· ὁ Δ ἄρα τοὺς ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΒΓ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει. οἱ ΑΒ, ΒΓ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. なぜなら、もし ΑΒ, ΒΓ が互いに素でないならば、ある数が ΑΒ, ΒΓ を測るであろう。

測るものとし、それを Δ とせよ。 そして、Δ は ΑΒ, ΒΓ のそれぞれを測るので、したがって全体である ΓΑ も測るであろう。

しかし、それは ΑΒ も測る。

したがって、Δ は互いに素である ΓΑ, ΑΒ を測る。

これは不可能である。

したがって、数 ΑΒ, ΒΓ を測るようないかなる数も存在しないであろう。

したがって、ΑΒ, ΒΓ は互いに素である。

これが証明されるべきことであった。