§7.prop.29ἅπας πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα ἀριθμόν, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτός ἐστιν.
모든 소수는 자신이 재지 않는 모든 수에 대하여 서로소이다.
ἔστω πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Α καὶ τὸν Β μὴ μετρείτω·
A를 소수라 하고 B를 재지 않는다고 하자.
λέγω, ὅτι οἱ Β, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
나는 B, A가 서로소라고 주장한다.
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Β, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.
왜냐하면 만약 B, A가 서로소가 아니라면, 어떤 수가 그들을 잴 것이다.
μετρείτω ὁ Γ. ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, ὁ δὲ Α τὸν Β οὐ μετρεῖ, ὁ Γ ἄρα τῷ Α οὔκ ἐστιν ὁ αὐτός.
그것을 Γ라 하고 재게 하자. Γ가 B를 재지만 A는 B를 재지 않으므로, 따라서 Γ는 A와 동일하지 않다. 그리고 왜냐하면 만약 B, A가 서로소가 아니라면, 어떤 수가 그들을 잴 것이다. 그것을 Γ라 하고 재게 하자. Γ가 B를 재지만 A는 B를 재지 않으므로, 따라서 Γ는 A와 동일하지 않다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τοὺς Β, Α μετρεῖ, καὶ τὸν Α ἄρα μετρεῖ πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그리고 Γ가 B, A를 재므로, 따라서 그것은 자신과 동일하지 않으면서도 소수인 A를 잰다. 이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τοὺς Β, Α μετρήσει τις ἀριθμός.
그러므로 B, A를 잴 어떤 수도 존재하지 않을 것이다.
οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 A, B는 서로소이다. 이것이 증명하고자 했던 것이다. Γ가 B, A를 재므로, 따라서 그것은 자신과 동일하지 않으면서도 소수인 A를 잰다. 이것은 불가능하다. 그러므로 B, A를 잴 어떤 수도 존재하지 않을 것이다. 그러므로 A, B는 서로소이다. 이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.30ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει.
만약 두 수가 서로 곱하여 어떤 수를 만들고, 그들로부터 생겨난 곱을 어떤 소수가 잰다면, 그것은 처음의 수들 중 하나도 잴 것이다.
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους τὸν Γ ποιείτωσαν, τὸν δὲ Γ μετρείτω τις πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Δ· λέγω, ὅτι ὁ Δ ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ.
왜냐하면 두 수 A, B가 서로 곱하여 Γ를 만들게 하고, 그 Γ를 어떤 소수 Δ가 잰다고 하자. 나는 Δ가 A, B 중 하나를 잰다고 주장한다. 곱하여 Γ를 만들게 하고, 그 Γ를 어떤 소수 Δ가 잰다고 하자. 나는 Δ가 A, B 중 하나를 잰다고 주장한다.
τὸν γὰρ Α μὴ μετρείτω· καί ἐστι πρῶτος ὁ Δ· οἱ Α, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
왜냐하면 A를 재지 않는다고 하자. 그리고 Δ는 소수이다. 그리고 Δ는 소수이다. 그러므로 A, Δ는 서로소이다.
καὶ ὁσάκις ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
그리고 Δ가 Γ를 재는 횟수만큼 E 안에 단위들이 있게 하자. 그러면 Δ가 E 안의 단위들의 수에 따라 Γ를 재므로, 따라서 Δ는 E를 곱하여 Γ를 만들었다. 그리고 Δ가 Γ를 재는 횟수만큼 E 안에 단위들이 있게 하자. 그러면 Δ가 E 안의 단위들의 수에 따라 Γ를 재므로, 따라서 Δ는 E를 곱하여 Γ를 만들었다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε τῷ ἐκ τῶν Α, Β. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Δ, Α πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ.
그런데 실로 A 또한 B를 곱하여 Γ를 만들었다. 그러므로 A, Δ는 서로소이다. 그리고 Δ가 Γ를 재는 횟수만큼 E 안에 단위들이 있게 하자. 그러면 Δ가 E 안의 단위들의 수에 따라 Γ를 재므로, 따라서 Δ는 E를 곱하여 Γ를 만들었다. 그런데 실로 A 또한 B를 곱하여 Γ를 만들었다. 그러므로 Δ, E로부터 생겨난 곱은 A, B로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 Δ 대 A는 B 대 E와 같다. 그런데 Δ, A는 서로소이고, 서로소인 수들은 또한 가장 작은 수들이며, 가장 작은 수들은 동일한 비를 갖는 수들을 동일한 횟수만큼 재니, 큰 것은 큰 것을, 작은 것은 작은 것을, 즉 전건은 전건을, 후건은 후건을 잰다. 그러므로 Δ, E로부터 생겨난 곱은 A, B로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 Δ 대 A는 B 대 E와 같다. 그런데 Δ, A는 서로소이고, 서로소인 수들은 또한 가장 작은 수들이며, 가장 작은 수들은 동일한 비를 갖는 수들을 동일한 횟수만큼 재니, 큰 것은 큰 것을, 작은 것은 작은 것을, 즉 전건은 전건을, 후건은 후건을 잰다. 그러므로 Δ, E로부터 생겨난 곱은 A, B로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 Δ 대 A는 B 대 E와 같다. 그런데 Δ, A는 서로소이고, 서로소인 수들은 또한 가장 작은 수들이며, 가장 작은 수들은 동일한 비를 갖는 수들을 동일한 횟수만큼 재니, 큰 것은 큰 것을, 작은 것은 작은 것을, 즉 전건은 전건을, 후건은 후건을 잰다. 그러므로 Δ는 B를 잰다. 그러므로 Δ, E로부터 생겨난 곱은 A, B로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 Δ 대 A는 B 대 E와 같다. 그러므로 Δ, E로부터 생겨난 곱은 A, B로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 Δ 대 A는 B 대 E와 같다. 그런데 Δ, A는 서로소이고, 서로소인 수들은 또한 가장 작은 수들이며, 가장 작은 수들은 동일한 비를 갖는 수들을 동일한 횟수만큼 재니, 큰 것은 큰 것을, 작은 것은 작은 것을, 즉 전건은 전건을, 후건은 후건을 잰다. 그러므로 Δ는 B를 잰다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐὰν τὸν Β μὴ μετρῇ, τὸν Α μετρήσει.
마찬가지로 실로 B를 재지 않을지라도 A를 잴 것임을 보일 것이다.
ὁ Δ ἄρα ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 Δ는 A, B 중 하나를 잰다. 이것이 증명하고자 했던 것이다. 작은 것은 작은 것을, 즉 전건은 전건을, 후건은 후건을 잰다. 그러므로 Δ는 B를 잰다. 마찬가지로 실로 B를 재지 않을지라도 A를 잴 것임을 보일 것이다. 그러므로 Δ는 A, B 중 하나를 잰다. 이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.31ἅπας σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
모든 합성수는 어떤 소수에 의해 재어진다.
ἔστω σύνθετος ἀριθμὸς ὁ Α·
A를 합성수라 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
나는 A가 어떤 소수에 의해 재어진다고 주장한다. A를 합성수라 하자. 나는 A가 어떤 소수에 의해 재어진다고 주장한다.
ʼἐπεὶ γὰρ σύνθετός ἐστιν ὁ Α, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός.
왜냐하면 A가 합성수이므로 어떤 수가 그것을 잴 것이다.
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Β. καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Β, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν.
그것을 B라 하고 재게 하자. 그리고 만약 B가 소수라면 요구된 일이 행해졌을 것이다. 그것을 B라 하고 재게 하자. 그리고 만약 B가 소수라면 요구된 일이 행해졌을 것이다.
εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός.
그러나 만약 합성수라면 어떤 수가 그것을 잴 것이다.
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, ὁ δὲ Β τὸν Α μετρεῖ, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α μετρεῖ.
그것을 Γ라 하고 재게 하자. 그리고 Γ가 B를 재고 B가 A를 재므로, 따라서 Γ 또한 A를 잰다. 그것을 Γ라 하고 재게 하자. 그리고 Γ가 B를 재고 B가 A를 재므로, 따라서 Γ 또한 A를 잰다. 그것을 B라 하고 재게 하자. 그리고 만약 B가 소수라면 요구된 일이 행해졌을 것이다. 그러나 만약 합성수라면 어떤 수가 그것을 잴 것이다. 그것을 Γ라 하고 재게 하자. 그것을 Γ라 하고 재게 하자. 그리고 Γ가 B를 재고 B가 A를 재므로, 따라서 Γ 또한 A를 잰다.
καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Γ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν.
그리고 만약 Γ가 소수라면 요구된 일이 행해졌을 것이다.
εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός.
그러나 만약 합성수라면 어떤 수가 그것을 잴 것이다.
τοιαύτης δὴ γινομένης ἐπισκέψεως ληφθήσεταί τις πρῶτος ἀριθμός, ὃς μετρήσει. εἰ γὰρ οὐ ληφθήσεται, μετρήσουσι τὸν Α ἀριθμὸν ἄπειροι ἀριθμοί, ὧν ἕτερος ἑτέρου ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἐν ἀριθμοῖς.
이러한 탐색이 행해질 때, 그것을 잴 어떤 소수가 얻어질 것이다. 이러한 탐색이 행해질 때, 그것을 잴 어떤 소수가 얻어질 것이다. 왜냐하면 만약 얻어지지 않는다면, 서로가 서로보다 작은 무한한 수들이 수 A를 잴 것인데, 그리고 만약 Γ가 소수라면 요구된 일이 행해졌을 것이다. 그러나 만약 합성수라면 어떤 수가 그것을 잴 것이다. 이러한 탐색이 행해질 때, 그것을 잴 어떤 소수가 얻어질 것이다. 왜냐하면 만약 얻어지지 않는다면, 서로가 서로보다 작은 무한한 수들이 수 A를 잴 것인데, 이는 수에 있어서 불가능하다.
ληφθήσεταί τις ἄρα πρῶτος ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ὃς καὶ τὸν Α μετρήσει.
그러므로 자기 앞의 것을 재며 또한 A를 잴 어떤 소수가 얻어질 것이다. 서로가 서로보다 작은 무한한 수들이 수 A를 잴 것인데, 이는 수에 있어서 불가능하다. 그러므로 자기 앞의 것을 재며 또한 A를 잴 어떤 소수가 얻어질 것이다.
ἅπας ἄρα σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 모든 합성수는 어떤 소수에 의해 재어진다. 이것이 증명하고자 했던 것이다. 그러므로 모든 합성수는 어떤 소수에 의해 재어진다. 이것이 증명하고자 했던 것이다.