§7.prop.29ἅπας πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα ἀριθμόν, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτός ἐστιν.
任何素数都对它不度量的任何数互素。
ἔστω πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Α καὶ τὸν Β μὴ μετρείτω· λέγω, ὅτι οἱ Β, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
设 A 为一个素数，且不度量 B；我且声称，B、A 彼此互素。
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Β, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.
因为，如果 B、A 不是彼此互素的，则某个数将度量它们。
μετρείτω ὁ Γ. ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, ὁ δὲ Α τὸν Β οὐ μετρεῖ, ὁ Γ ἄρα τῷ Α οὔκ ἐστιν ὁ αὐτός.
设 Γ 度量它们。 既然 Γ 度量 B，而 A 不度量 B，所以 Γ 与 A 并不相同。 又既然因为，如果 B、A 不是彼此互素的，则某个数将度量它们。 设 Γ 度量它们。 既然 Γ 度量 B，而 A 不度量 B，所以 Γ 与 A 并不相同。
καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τοὺς Β, Α μετρεῖ, καὶ τὸν Α ἄρα μετρεῖ πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
又既然 Γ 度量 B、A，所以它也度量 A（它是素数），尽管它与 A 并不相同；这是不可能的。
οὐκ ἄρα τοὺς Β, Α μετρήσει τις ἀριθμός.
所以没有数会度量 B、A。
οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以 A、B 彼此互素；这就是所要证明的。
§7.prop.30ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει.
如果两个数相乘得到某数，且某个素数度量它们所产生的积，则它也必将度量原来的数之中的一个。
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους τὸν Γ ποιείτωσαν, τὸν δὲ Γ μετρείτω τις πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Δ· λέγω, ὅτι ὁ Δ ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ.
因为，设 A、B 两个数相乘得到 Γ，且设某个素数 Δ 度量 Γ；我且声称，Δ 度量 A、B 中的一个。
τὸν γὰρ Α μὴ μετρείτω· καί ἐστι πρῶτος ὁ Δ· οἱ Α, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
因为，设它不度量 A；且 Δ 是素数；所以 A、Δ 彼此互素。
καὶ ὁσάκις ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
且设 E 中有与 Δ 度量 Γ 的次数相同多的单位。 既然 Δ 根据 E 中的单位度量 Γ，所以 Δ 乘以 E 得到了 Γ。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν·
但是，A 乘以 B 也得到了 Γ；所以由 Δ、E 产生的积等于由 A、B 产生的积。
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε τῷ ἐκ τῶν Α, Β. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Δ, Α πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ.
所以，正如 Δ 对 A，B 也对 E。 摆脱了原文混入后：但是 Δ、A 是互素的，而互素的数也是最小的，且最小的数同样次数地度量具有相同比的数，即较大的度量较大的，较小的度量较小的，也就是说，前件度量前件，后件度量后件；所以 Δ 度量 B。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐὰν τὸν Β μὴ μετρῇ, τὸν Α μετρήσει.
同样地，我们将证明，即使它不度量 B，它也将度量 A。
ὁ Δ ἄρα ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以 Δ 度量 A、B 中的一个；这就是所要证明的。
§7.prop.31ἅπας σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
任何合成数都由某个素数度量。
ἔστω σύνθετος ἀριθμὸς ὁ Α· λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
设 A 为一个合成数；我且声称，A 由某个素数度量。 设 A 为一个合成数；我且声称，A 由某个素数度量。
ʼἐπεὶ γὰρ σύνθετός ἐστιν ὁ Α, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός.
因为，既然 A 是合成数，则某个数将度量它。
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Β. καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Β, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν.
设它度量它，并设它为 B。 如果 B 是素数，那么所要求的事就完成了。
εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός.
如果它是合成数，则某个数将度量它。
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, ὁ δὲ Β τὸν Α μετρεῖ, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α μετρεῖ.
设它度量它，并设它为 Γ。 又既然 Γ 度量 B，且 B 度量 A，所以 Γ 也度量 A。
καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Γ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν.
如果 Γ 是素数，那么所要求的事就完成了。
εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός.
如果它是合成数，则某个数将度量它。
τοιαύτης δὴ γινομένης ἐπισκέψεως ληφθήσεταί τις πρῶτος ἀριθμός, ὃς μετρήσει.
这样进行探索，就会得到某个度量它的素数。
εἰ γὰρ οὐ ληφθήσεται, μετρήσουσι τὸν Α ἀριθμὸν ἄπειροι ἀριθμοί, ὧν ἕτερος ἑτέρου ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἐν ἀριθμοῖς.
因为，如果得不到，则无数个一个比一个小的数将度量数 A；这在数中是不可能的。
ληφθήσεταί τις ἄρα πρῶτος ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ὃς καὶ τὸν Α μετρήσει.
所以必将得到某个素数，它度量它前一个数，也将度量 A。
ἅπας ἄρα σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以，任何合成数都由某个素数度量；这就是所要证明的。