§7.prop.27ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ πολλαπλασιάσας ἑκάτερος ἑαυτὸν ποιῇ τινα, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται, κἂν οἱ ἐξ ἀρχῆς τοὺς γενομένους πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, κἀκεῖνοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται.
만약 두 수가 서로소이고, 각각이 자신을 곱하여 어떤 수를 만든다면, 그들로부터 생겨난 곱들 또한 서로소일 것이다. 그리고 처음의 수들이 그 생겨난 곱들을 곱하여 어떤 수들을 만들지라도, 그것들 또한 서로소일 것이다.
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω, ὁ δὲ Β ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω·
A, B를 서로소인 두 수라 하고, A는 자신을 곱하여 Γ를 만들고, Γ를 곱하여 Δ를 만들며, B는 자신을 곱하여 E를 만들고, E를 곱하여 Z를 만들게 하자.
λέγω, ὅτι οἵ τε Γ, Ε καὶ οἱ Δ, Ζ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
나는 Γ, E 및 Δ, Z가 서로소라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
왜냐하면 A, B가 서로소이고, A가 자신을 곱하여 Γ를 만들었으므로, 따라서 Γ, B는 서로소이다.
ἐπεὶ οὖν οἱ Γ, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, οἱ Γ, Ε ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
그러므로 Γ, B가 서로소이고, B가 자신을 곱하여 E를 만들었으므로, 따라서 Γ, E는 서로소이다.
πάλιν, ἐπεὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, οἱ Α, Ε ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
다시, A, B가 서로소이고, B가 자신을 곱하여 E를 만들었으므로, 따라서 A, E는 서로소이다.
ἐπεὶ οὖν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Γ πρὸς δύο ἀριθμοὺς τοὺς Β, Ε ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοί εἰσιν, καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Γ ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν ἐκ τῶν Β, Ε πρῶτός ἐστιν.
그러므로 두 수 A, Γ가 다른 두 수 B, E에 대하여 각각 서로소이므로, 따라서 A, Γ로부터 생겨난 곱 또한 B, E로부터 생겨난 곱과 서로소이다.
καί ἐστιν ὁ μὲν ἐκ τῶν Α, Γ ὁ Δ, ὁ δὲ ἐκ τῶν Β, Ε ὁ Ζ. οἱ Δ, Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
그런데 A, Γ로부터 생겨난 곱은 Δ이고, B, E로부터 생겨난 곱은 Z이다. 그러므로 Δ, Z는 서로소이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.28ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ συναμφότερος πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν πρῶτος ἔσται·
만약 두 수가 서로소라면, 그들의 합 또한 그들 각각과 서로소일 것이다.
καὶ ἐὰν συναμφότερος πρὸς ἕνα τινὰ αὐτῶν πρῶτος ᾖ, καὶ οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται.
그리고 만약 그들의 합이 그들 중 어느 하나와 서로소라면, 처음의 수들 또한 서로소일 것이다.
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ ΑΒ, ΒΓ·
서로소인 두 수 AB, BΓ가 더해졌다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ ΑΓ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ πρῶτός ἐστιν.
나는 그들의 합인 AΓ 또한 AB, BΓ 각각과 서로소라고 주장한다.
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΓΑ, ΑΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις τοὺς ΓΑ, ΑΒ ἀριθμός.
왜냐하면 만약 ΓA, AB가 서로소가 아니라면, 어떤 수가 ΓA, AB를 잴 것이다.
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τοὺς ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΒΓ μετρήσει.
그것을 Δ라 하고 재게 하자. 그러면 Δ가 ΓA, AB를 재므로, 따라서 남은 부분인 BΓ 또한 잴 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΒΑ·
그런데 그것은 BA 또한 잰다.
ὁ Δ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους·
그러므로 Δ는 서로소인 AB, BΓ를 잰다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τοὺς ΓΑ, ΑΒ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει·
그러므로 수 ΓA, AB를 잴 어떤 수도 존재하지 않을 것이다.
οἱ ΓΑ, ΑΒ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
그러므로 ΓA, AB는 서로소이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
동일한 이유로 실로 AΓ, ΓB 또한 서로소이다.
ὁ ΓΑ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ πρῶτός ἐστιν.
그러므로 ΓA는 AB, BΓ 각각과 서로소이다.
ἔστωσαν δὴ πάλιν οἱ ΓΑ, ΑΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους·
그러면 다시 ΓA, AB가 서로소라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
나는 AB, BΓ 또한 서로소라고 주장한다.
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις τοὺς ΑΒ, ΒΓ ἀριθμός.
왜냐하면 만약 AB, BΓ가 서로소가 아니라면, 어떤 수가 AB, BΓ를 잴 것이다.
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΓΑ μετρήσει.
그것을 Δ라 하고 재게 하자. 그리고 Δ가 AB, BΓ 각각을 재므로, 따라서 전체인 ΓA 또한 잴 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΑΒ·
그런데 그것은 AB 또한 잰다.
ὁ Δ ἄρα τοὺς ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους·
그러므로 Δ는 서로소인 ΓA, AB를 잰다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΒΓ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει.
그러므로 수 AB, BΓ를 잴 어떤 수도 존재하지 않을 것이다.
οἱ ΑΒ, ΒΓ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
그러므로 AB, BΓ는 서로소이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.