互いに素な数の積と平方における素の性質

もし2つの数がある数に対して素であるなら、それらから生じた積もまたその同じ数に対して素であろう。

δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρός τινα ἀριθμὸν τὸν Γ πρῶτοι ἔστωσαν, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Γ, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. なぜなら、2つの数 Α, Β がある数 Γ に対して素であるとし、Α が Β に掛けて Δ を作るとせよ。

私は、Γ, Δ が互いに素であると主張する。

εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Γ, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τοὺς Γ, Δ ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε. καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, τὸν δὲ Γ μετρεῖ τις ἀριθμὸς ὁ Ε, οἱ Α, Ε ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ· καὶ ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας. ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Ε, Ζ τῷ ἐκ τῶν Α, Β. ἐὰν δὲ ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ζ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· ὁ Ε ἄρα τὸν Β μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· ὁ Ε ἄρα τοὺς Β, Γ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς Γ, Δ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει. οἱ Γ, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. なぜなら、もし Γ, Δ が互いに素でないならば、ある数が Γ, Δ を測るであろう。 測るものとし、それを Ε とせよ。 そして、Γ, Α は互いに素であり、Γ をある数 Ε が測るので、したがって Α, Ε は互いに素である。 そこで、Ε が Δ を測る回数だけ、Ζ の中に単位数があるとせよ。 したがってまた、Ζ も Δ を、Ε の中にある単位数に等しい回数だけ測る。 したがって、Ε は Ζ を掛けて Δ を作った。 しかしまた、Α も Β を掛けて Δ を作った。 したがって、Ε, Ζ による積は Α, Β による積に等しい。 もし外項による積が内項による積に等しいならば、その4つの数は比例する。 したがって、Ε の Α に対する比は、Β の Ζ に対する比のようである。 しかし、Α, Ε は互いに素であり、互いに素な数はまた最小であり、同じ比を持つものらのうち最小の数らは、同じ比を持つものらを、大きい方は大きい方を、小さい方は小さい方を、すなわち前件は前件を、後件は後件を同じ回数だけ測る。 したがって、Ε は Β を測る。 しかし、それは Γ も測る。 したがって、Ε は互いに素である Β, Γ を測る。 これは不可能である。 したがって、数 Γ, Δ を測るようないかなる数も存在しないであろう。 したがって、Γ, Δ は互いに素である。 これが証明されるべきことであった。

もし2つの数が互いに素であるなら、それらのうちの一方から生じた積もまた、残りの数に対して素であろう。

ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Β, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. 互いに素である2つの数を Α, Β とし、Α がそれ自身を掛けて Γ を作るとせよ。

私は、Β, Γ が互いに素であると主張する。

κείσθω γὰρ τῷ Α ἴσος ὁ Δ. ἐπεὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἴσος δὲ ὁ Α τῷ Δ, καὶ οἱ Δ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. ἑκάτερος ἄρα τῶν Δ, Α πρὸς τὸν Β πρῶτός ἐστιν· καὶ ὁ ἐκ τῶν Δ, Α ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Β πρῶτος ἔσται. ὁ δὲ ἐκ τῶν Δ, Α γενόμενος ἀριθμός ἐστιν ὁ Γ. οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. なぜなら、Α に等しい Δ を置け。 Α, Β は互いに素であり、Α は Δ に等しいので、したがって Δ, Β も互いに素である。 したがって、Δ, Α のそれぞれは Β に対して素である。 したがってまた、Δ, Α から生じた積も Β に対して素であろう。 しかし、Δ, Α から生じた数は Γ である。 したがって、Γ, Β は互いに素である。 これが証明されるべきことであった。

もし2つの数と、別の2つの数において、両方がそれぞれの相手に対して素であるならば、それらから生じた積同士もまた、互いに素であろう。

δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς δύο ἀριθμοὺς τοὺς Γ, Δ ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοι ἔστωσαν, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Ε, Ζ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. なぜなら、2つの数 Α, Β が、別の2つの数 Γ, Δ に対して、両方がそれぞれの相手に対して素であるとし、Α が Β を掛けて Ε を作り、Γ が Δ を掛けて Ζ を作るとせよ。

私は、Ε, Ζ が互いに素であると主張する。

ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερος τῶν Α, Β πρὸς τὸν Γ πρῶτός ἐστιν, καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Β ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Γ πρῶτος ἔσται. ὁ δὲ ἐκ τῶν Α, Β γενόμενός ἐστιν ὁ Ε· οἱ Ε, Γ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ Δ, Ε πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. ἑκάτερος ἄρα τῶν Γ, Δ πρὸς τὸν Ε πρῶτός ἐστιν. καὶ ὁ ἐκ τῶν Γ, Δ ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Ε πρῶτος ἔσται. ὁ δὲ ἐκ τῶν Γ, Δ γενόμενός ἐστιν ὁ Ζ. οἱ Ε, Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. なぜなら、Α, Β のそれぞれが Γ に対して素であるので、したがって Α, Β から生じた積も Γ に対して素であろう。 しかし、Α, Β から生じた数は Ε である。 したがって、Ε, Γ は互いに素である。 まったく同じ理由によって、Δ, Ε も互いに素である。 したがって、Γ, Δ のそれぞれは Ε に対して素である。 したがってまた、Γ, Δ から生じた積も Ε に対して素であろう。 しかし、Γ, Δ から生じた数は Ζ である。 したがって、Ε, Ζ は互いに素である。 これが証明されるべきことであった。