§7.prop.21οἱ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
互いに素である数らは、それらと同じ比を持つものらのうち最小である。
ἔστωσαν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς. εἰ γὰρ μή, ἔσονταί τινες τῶν Α, Β ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β. ἔστωσαν οἱ Γ, Δ.
ἐπεὶ οὖν οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων 2 μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάττων τὸν ἐλάττονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον, ἰσάκις ἄρα ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Β. ὁσάκις δὴ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. καὶ ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας.
Α, Β を互いに素である数らとせよ。私は、Α, Β はそれらと同じ比を持つものらのうち最小であると主張する。なぜなら、もしそうでなければ、Α, Β より小さいある数らが存在して、Α, Β と同じ比にあるであろう。 それらを Γ, Δ とせよ。 さて、同じ比を持つものらのうち最小の数らは、同じ比を持つものらを、大きい方は大きい方を、小さい方は小さい方を、すなわち前件は前件を、後件は後件を同じ回数だけ測るので、したがって、Γ が Α を測る回数と同じ回数だけ Δ も Β を測る。 そこで、Γ が Α を測る回数だけ、Ε の中に単位数があるとせよ。 したがってまた、Δ も Β を、Ε の中にある単位数に等しい回数だけ測る。
καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας.
そして、Γ は Α を Ε の中にある単位数に等しい回数だけ測るので、Ε もまた Α を Γ の中にある単位数に等しい回数だけ測る。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁ Ε καὶ τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας.
まったく同じ理由によって、Ε は Β もまた Δ の中にある単位数に等しい回数だけ測る。
ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους·
したがって Ε は、互いに素である Α, Β を測る。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Α, Β ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β. οἱ Α, Β ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς·
したがって、Α, Β より小さいある数らであって、Α, Β と同じ比にあるものは存在しないであろう。 したがって、Α, Β はそれらと同じ比を持つものらのうち最小である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.22οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
それらと同じ比を持つものらのうち最小の数らは、互いに素である。
ἔστωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. εἰ γὰρ μή εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.
Α, Β をそれらと同じ比を持つものらのうち最小 of 数らとせよ。私は、Α, Β は互いに素であると主張する。なぜなら、もし互いに素でないならば、ある数がそれらを測るであろう。
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Γ. καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Δ, ὁσάκις δὲ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε.
ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας, ὁ Γ ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
測るものとし、それを Γ とせよ。 そして、Γ が Α を測る回数だけ、Δ の中に単位数があるとし、Γ が Β を測る回数だけ、Ε の中に単位数があるとしろ。 Γ は Α を Δ の中にある単位数に等しい回数だけ測るので、したがって Γ は Δ を掛けて Α を作った。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
同じ理由でまた、Γ は Ε を掛けて Β を作った。
ἀριθμὸς δὴ ὁ Γ δύο ἀριθμοὺς τοὺς Δ, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Α, Β πεποίηκεν·
したがって、数 Γ は2つの数 Δ, Ε を掛けて Α, Β を作った。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β·
したがって、Δ の Ε に対する比は Α の Β に対する比のようである。
οἱ Δ, Ε ἄρα τοῖς Α, Β ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν ἐλάσσονες ὄντες αὐτῶν·
したがって、Δ, Ε は Α, Β と同じ比にあり、かつそれらより小さい。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει.
したがって、数 Α, Β を測るような、いかなる数も存在しないであろう。
οἱ α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
したがって、 Α, Β は互いに素である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.23ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ τὸν ἕνα αὐτῶν μετρῶν ἀριθμὸς πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος ἔσται.
もし2つの数が互いに素であるなら、それらのうちの一方を測る数は、残りの数に対して素であろう。
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β, τὸν δὲ Α μετρείτω τις ἀριθμὸς ὁ Γ· λέγω, ὅτι καὶ οἱ Γ, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
Α, Β を互いに素である2つの数とし、ある数 Γ が Α を測るとせよ。私は、Γ, Β もまた互いに素であると主張する。
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Γ, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τοὺς Γ, Β ἀριθμός.
なぜなら、もし Γ, Β が互いに素でないならば、ある数が Γ, Β を測るであろう。
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. ἐπεὶ ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ, ὁ δὲ Γ τὸν Α μετρεῖ, καὶ ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ.
測るものとし、それを Δ とせよ。 Δ は Γ を測り、Γ は Α を測るので、したがって Δ も Α を測る。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Β·
しかしまた Β も測る。
ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους·
したがって、Δ は互いに素である Α, Β を測る。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τοὺς Γ, Β ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει.
したがって、Γ, Β を測るようないかなる数も存在しないであろう。
οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
したがって、Γ, Β は互いに素である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。