§7.prop.24ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν, καὶ ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν αὐτὸν πρῶτος ἔσται.
만약 두 수가 어떤 수와 서로소라면, 그들로부터 생겨난 곱 또한 동일한 수와 서로소일 것이다.
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρός τινα ἀριθμὸν τὸν Γ πρῶτοι ἔστωσαν, καὶ ὁ α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω·
두 수 A, B가 어떤 수 Γ와 서로소라 하고, A가 B를 곱하여 Δ를 만들게 하자.
λέγω, ὅτι οἱ Γ, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
나는 Γ, Δ가 서로소라고 주장한다.
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Γ, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τοὺς Γ, Δ ἀριθμός.
왜냐하면 만약 Γ, Δ가 서로소가 아니라면, 어떤 수가 Γ, Δ를 잴 것이다.
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε. καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, τὸν δὲ Γ μετρεῖ τις ἀριθμὸς ὁ Ε, οἱ Α, Ε ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
그것을 E라 하고 재게 하자. 그리고 Γ, A가 서로소이고, 어떤 수 E가 Γ를 재므로, 따라서 A, E는 서로소이다.
ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ·
그리하여 E가 Δ를 재는 횟수만큼 Z 안에 단위수가 있다고 하자.
καὶ ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας.
따라서 Z 또한 Δ를 E 안의 단위수에 따라 잰다.
ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
그러므로 E는 Z를 곱하여 Δ를 만들었다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν·
그러나 실로 A 또한 B를 곱하여 Δ를 만들었다.
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Ε, Ζ τῷ ἐκ τῶν Α, Β. ἐὰν δὲ ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν·
그러므로 E, Z에 의한 곱은 A, B에 의한 곱과 같다. 만약 외항들에 의한 곱이 내항들에 의한 곱과 같다면, 네 수는 비례한다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ζ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· ὁ Ε ἄρα τὸν Β μετρεῖ.
그러므로 E가 A에 대한 비는 B가 Z에 대한 비와 같다. 그런데 A, E는 서로소이고, 서로소인 수들은 또한 가장 작으며, 동일한 비를 가진 수들 중에서 가장 작은 수들은 동일한 비를 가진 수들을 같은 횟수만큼, 큰 수는 큰 수를, 작은 수는 작은 수를, 즉 전건은 전건을, 후건은 후건을 재므로, 따라서 E는 B를 잰다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ·
그러나 Γ 또한 잰다.
ὁ Ε ἄρα τοὺς Β, Γ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους·
그러므로 E는 서로소인 B, Γ를 잰다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τοὺς Γ, Δ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει.
그러므로 수 Γ, Δ를 잴 어떤 수도 존재하지 않을 것이다.
οἱ Γ, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
그러므로 Γ, Δ는 서로소이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.25ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ ἐκ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος ἔσται.
만약 두 수가 서로소라면, 그들 중 하나로부터 생겨난 곱은 나머지 수와 서로소일 것이다.
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω·
A, B를 서로소인 두 수라 하고, A가 자신을 곱하여 Γ를 만들게 하자.
λέγω, ὅτι οἱ Β, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
나는 B, Γ가 서로소라고 주장한다.
κείσθω γὰρ τῷ Α ἴσος ὁ Δ. ἐπεὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἴσος δὲ ὁ Α τῷ Δ, καὶ οἱ Δ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
왜냐하면 A와 같은 Δ를 놓자. A, B가 서로소이고, A가 Δ와 같으므로, 따라서 Δ, B 또한 서로소이다.
ἑκάτερος ἄρα τῶν Δ, Α πρὸς τὸν Β πρῶτός ἐστιν·
그러므로 Δ, A 각각은 B와 서로소이다.
καὶ ὁ ἐκ τῶν Δ, Α ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Β πρῶτος ἔσται.
따라서 Δ, A로부터 생겨난 곱 또한 B와 서로소일 것이다.
ὁ δὲ ἐκ τῶν Δ, Α γενόμενος ἀριθμός ἐστιν ὁ Γ. οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
그런데 Δ, A로부터 생겨난 수는 Γ이다. 그러므로 Γ, B는 서로소이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.26ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς δύο ἀριθμοὺς ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοι ὦσιν, καὶ οἱ ἐξ αὐτῶν γενόμενοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται.
만약 두 수가 다른 두 수에 대하여 각각 서로소라면, 그들로부터 생겨난 곱들 또한 서로소일 것이다.
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς δύο ἀριθμοὺς τοὺς Γ, Δ ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοι ἔστωσαν, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω·
두 수 A, B가 다른 두 수 Γ, Δ에 대하여 각각 서로소라 하고, A는 B를 곱하여 E를 만들고, Γ는 Δ를 곱하여 Z를 만들게 하자.
λέγω, ὅτι οἱ Ε, Ζ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
나는 E, Z가 서로소라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερος τῶν Α, Β πρὸς τὸν Γ πρῶτός ἐστιν, καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Β ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Γ πρῶτος ἔσται.
왜냐하면 A, B 각각이 Γ와 서로소이므로, 따라서 A, B로부터 생겨난 곱 또한 Γ와 서로소일 것이다.
ὁ δὲ ἐκ τῶν Α, Β γενόμενός ἐστιν ὁ Ε·
그런데 A, B로부터 생겨난 곱은 E이다.
οἱ Ε, Γ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
그러므로 E, Γ는 서로소이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ Δ, Ε πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
동일한 이유로 실로 Δ, E 또한 서로소이다.
ἑκάτερος ἄρα τῶν Γ, Δ πρὸς τὸν Ε πρῶτός ἐστιν.
그러므로 Γ, Δ 각각은 E와 서로소이다.
καὶ ὁ ἐκ τῶν Γ, Δ ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Ε πρῶτος ἔσται.
따라서 Γ, Δ로부터 생겨난 곱 또한 E와 서로소일 것이다.
ὁ δὲ ἐκ τῶν Γ, Δ γενόμενός ἐστιν ὁ Ζ. οἱ Ε, Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
그런데 Γ, Δ로부터 생겨난 곱은 Z이다. 그러므로 E, Z는 서로소이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.