§7.prop.21οἱ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
서로소인 수들은 자신들과 동일한 비를 가진 수들 중에서 가장 작다.
ἔστωσαν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ οἱ Α, Β·
A, B를 서로소인 수들이라 하자.
λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
나는 A, B가 자신들과 동일한 비를 가진 수들 중에서 가장 작다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή, ἔσονταί τινες τῶν Α, Β ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β. ἔστωσαν οἱ Γ, Δ.
ἐπεὶ οὖν οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων 2 μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάττων τὸν ἐλάττονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον, ἰσάκις ἄρα ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Β. ὁσάκις δὴ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. καὶ ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας.
왜냐하면 그렇지 않다면, A, B보다 작은 어떤 수들이 존재하여 A, B와 동일한 비를 가질 것이다. 그것들을 Γ, Δ라 하자. 그렇다면 동일한 비를 가진 수들 중에서 가장 작은 수들은 동일한 비를 가진 수들을, 큰 수는 큰 수를, 작은 수는 작은 수를 같은 횟수만큼 재며, 즉 전건은 전건을, 후건은 후건을 재므로, 따라서 Γ가 A를 재는 횟수와 Δ가 B를 재는 횟수가 같다. 그리하여 Γ가 A를 재는 횟수만큼 E 안에 단위수가 있다고 하자. 따라서 Δ 또한 B를 E 안의 단위수에 따라 잰다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας.
그리고 Γ가 A를 E 안의 단위수에 따라 재므로, 따라서 E 또한 A를 Γ 안의 단위수에 따라 잰다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁ Ε καὶ τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας.
동일한 이유로 실로 E는 B 또한 Δ 안의 단위수에 따라 잰다.
ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους·
그러므로 E는 서로소인 A, B를 잰다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Α, Β ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β. οἱ Α, Β ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς·
그러므로 A, B보다 작으면서 A, B와 동일한 비를 가지는 어떤 수들도 존재하지 않을 것이다. 그러므로 A, B는 자신들과 동일한 비를 가진 수들 중에서 가장 작은 수들이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.22οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
자신들과 동일한 비를 가진 수들 중에서 가장 작은 수들은 서로소이다.
ἔστωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β·
A, B를 자신들과 동일한 비를 가진 수들 중에서 가장 작은 수들이라 하자.
λέγω, ὅτι οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
나는 A, B가 서로 소라고 주장한다.
εἰ γὰρ μή εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.
왜냐하면 만약 그들이 서로소가 아니라면, 어떤 수가 그들을 잴 것이다.
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Γ. καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Δ, ὁσάκις δὲ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε.
ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας, ὁ Γ ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
그것을 Γ라 하고 재게 하자. 그리고 Γ가 A를 재는 횟수만큼 Δ 안에 단위수가 있다고 하고, Γ가 B를 재는 횟수만큼 E 안에 단위수가 있다고 하자. Γ가 A를 Δ 안의 단위수에 따라 재므로, 따라서 Γ는 Δ를 곱하여 A를 만들었다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
동일한 이유로 실로 Γ 또한 E를 곱하여 B를 만들었다.
ἀριθμὸς δὴ ὁ Γ δύο ἀριθμοὺς τοὺς Δ, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Α, Β πεποίηκεν·
따라서 수 Γ는 두 수 Δ, E를 곱하여 A, B를 만들었다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β·
그러므로 Δ가 E에 대한 비는 A가 B에 대한 비와 같다.
οἱ Δ, Ε ἄρα τοῖς Α, Β ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν ἐλάσσονες ὄντες αὐτῶν·
그러므로 Δ, E는 A, B와 동일한 비를 가지며 그보다 작다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει.
그러므로 수 A, B를 잴 어떤 수도 존재하지 않을 것이다.
οἱ α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
그러므로 A, B는 서로소이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.23ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ τὸν ἕνα αὐτῶν μετρῶν ἀριθμὸς πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος ἔσται.
만약 두 수가 서로소라면, 그들 중 하나를 재는 수는 나머지 수와 서로소일 것이다.
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β, τὸν δὲ Α μετρείτω τις ἀριθμὸς ὁ Γ·
A, B를 서로소인 두 수라 하고, A를 어떤 수 Γ가 잰다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ οἱ Γ, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
나는 Γ, B 또한 서로소라고 주장한다.
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Γ, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τοὺς Γ, Β ἀριθμός.
왜냐하면 만약 Γ, B가 서로소가 아니라면, 어떤 수가 Γ, B를 잴 것이다.
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. ἐπεὶ ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ, ὁ δὲ Γ τὸν Α μετρεῖ, καὶ ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ.
그것을 Δ라 하고 재게 하자. Δ가 Γ를 재고, Γ가 A를 재므로, 따라서 Δ 또한 A를 잰다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Β·
그러나 B 또한 잰다.
ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους·
그러므로 Δ는 서로소인 A, B를 잰다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τοὺς Γ, Β ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει.
그러므로 수 Γ, B를 잴 어떤 수도 존재하지 않을 것이다.
οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
그러므로 Γ, B는 서로소이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.