§6.prop.7ἐὰν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, τῶν δὲ λοιπῶν ἑκατέραν ἅμα ἤτοι ἐλάσσονα ἢ μὴ ἐλάσσονα ὀρθῆς, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, περὶ ἃς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί.
もし2つの三角形が1つの角を1つの角に等しく持ち、他の角を挟む辺が比例しており、かつ残りの角のそれぞれが同時に、直角より小さいか、あるいは直角より小さくないならば、それらの三角形は等角であり、また辺が比例している角を等しく持つであろう。
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ, περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ὡς τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, τῶν δὲ λοιπῶν τῶν πρὸς τοῖς Γ, Ζ πρότερον ἑκατέραν ἅμα ἐλάσσονα ὀρθῆς·
2つの三角形ABC, DEFが、1つの角BACを1つの角EDFに等しく持ち、他の角ABC, DEFを挟む辺が比例しており、すなわちABのBCに対する比はDEのEFに対する比と同じであり、残りのC, Fにおける角のそれぞれが、まずは同時に直角より小さいとせよ。
λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, καὶ ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, καὶ λοιπὴ δηλονότι ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση.
私は言う、三角形ABCは三角形DEFと等角であり、角ABCは角DEFに等しく、そして明らかに残りの Cにおける角は残りのFにおける角に等しいであろう。
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
なぜなら、もし角ABCが角DEFと等しくないならば、それらのうちの一方がより大きい。
ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΒΓ. καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΗ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ Δ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση.
角ABCの方が大きいとせよ。 そして直線ABとその上の点Bにおいて、角DEFに等しい角ABGが作られるとせよ。 そして、角AはDに等しく、角ABGは角DEFに等しいので、残りの角AGBは残りの角DFEに等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
したがって、三角形ABGは三角形 DEFと等角である。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ὑπόκειται ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ·
それゆえ、ABがBGに対する比は、DEがEFに対する比と同じである。 しかし、DEがEFに対する比は、仮定によりABがBCに対する比と同じである。
ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΓ, ΒΗ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
したがって、ABはBC, BGのそれぞれに対して同じ比を持つ。
ἴση ἄρα ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΗΓ ἐστιν ἴση.
したがって、BCはBGに等しい。 それゆえ、Cにおける角も角 BGCに等しい。
ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ὑπόκειται ἡ πρὸς τῷ Γ·
しかし、仮定によりCにおける角は直角より小さい。
ἐλάττων ἄρα ἐστὶν ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ·
したがって、角BGCも直角より小さい。
ὥστε ἡ ἐφεξῆς αὐτῇ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΗΒ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.
それゆえ、その隣接角である角AGBは直角より大きい。
καὶ ἐδείχθη ἴση οὖσα τῇ πρὸς τῷ Ζ·
そして、それはFにおける角に等しいことが示された。
καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ ἄρα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.
したがって、Fにおける角も直角より大きい。
ὑπόκειται δὲ ἐλάσσων ὀρθῆς·
しかし、それは直角より小さいと仮定されていた。
ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.
これは不合理である。
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ·
したがって、角ABCは角DEFと等しくなくはない。
ἴση ἄρα.
それゆえ、等しい。
ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Α ἴση τῇ πρὸς τῷ Δ·
そして、Aにおける角もDにおける角に等しい。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση ἐστίν.
したがって、残りのCにおける角も残りのFにおける角に等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
したがって、三角形ABCは三角形DEFと等角である。
ἀλλὰ δὴ πάλιν ὑποκείσθω ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Γ, Ζ μὴ ἐλάσσων ὀρθῆς·
しかし今度は再び、C, Fにおける角のそれぞれが直角より小さくないと仮定せよ。
λέγω πάλιν, ὅτι καὶ οὕτως ἐστὶν ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
私は再び言う、このようにしても三角形ABCは三角形DEFと等角である。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ·
なぜなら、同じように作図すれば、BCが BGに等しいことを同様に示すことができるからである。
ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστίν.
それゆえ、Cにおける角も角BGCに等しい。
οὐκ ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἡ πρὸς τῷ Γ·
しかし、Cにおける角は直角より小さくない。
οὐκ ἐλάττων ἄρα ὀρθῆς οὐδὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ. τριγώνου δὴ τοῦ ΒΗΓ αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν οὔκ εἰσιν ἐλάττονες·
したがって、角BGCも直角より小さくない。 すると実に、三角形BGCの2つの角が2直角より小さくないことになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα πάλιν ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ·
したがって、やはり角ABCは角DEFと等しくなくはない。
ἴση ἄρα.
それゆえ、等しい。
ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ ἴση·
そして、Aにおける角もDにおける角に等しい。
λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση ἐστίν.
したがって、残りのCにおける角も残りのFにおける角に等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
したがって、三角形ABCは三角形DEFと等角である。
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, τῶν δὲ λοιπῶν ἑκατέραν ἅμα ἐλάττονα ἢ μὴ ἐλάττονα ὀρθῆς, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, περὶ ἃς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί·
したがって、もし2つの三角形が1つの角を1つの角に等しく持ち、他の角を挟む辺が比例しており、かつ残りの角のそれぞれが同時に、直角より小さいか、あるいは直角より小さくないならば、それらの三角形は等角であり、また辺が比例している角を等しく持つであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。