§6.prop.7ἐὰν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, τῶν δὲ λοιπῶν ἑκατέραν ἅμα ἤτοι ἐλάσσονα ἢ μὴ ἐλάσσονα ὀρθῆς, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, περὶ ἃς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί.
만일 두 삼각형이 한 각을 다른 한 각과 같게 가지고, 다른 각들을 끼고 있는 변들이 비례하며, 남은 각들의 각각이 동시에 직각보다 작거나 혹은 직각보다 작지 않다면, 그 삼각형들은 등각삼각형이고, 또한 변들이 비례하는 각들이 서로 같을 것이다.
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ, περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ὡς τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, τῶν δὲ λοιπῶν τῶν πρὸς τοῖς Γ, Ζ πρότερον ἑκατέραν ἅμα ἐλάσσονα ὀρθῆς·
두 삼각형 ABC, DEF가 한 각 BAC를 다른 한 각 EDF와 같게 가지고 있고, 다른 각들 ABC, DEF를 끼고 있는 변들이 비례한다고 하자, 즉 AB가 BC에 대하여 가지는 비는 DE가 EF에 대하여 가지는 비와 같다고 하자, 그리고 남은 C, F에서의 각들의 각각이 우선 동시에 직각보다 작다고 하자.
λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, καὶ ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, καὶ λοιπὴ δηλονότι ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση.
나는 주장한다, 삼각형 ABC는 삼각형 DEF와 등각삼각형이고, 각 ABC는 각 DEF와 같을 것이며, 그리고 분명히 남은 C에서의 각은 남은 F에서의 각과 같을 것이다.
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
왜냐하면 만일 각 ABC가 각 DEF와 같지 않다면, 그중 하나가 더 크다.
ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΒΓ. καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΗ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ Δ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση.
각 ABC가 더 크다고 하자. 그리고 직선 AB와 그 위의 점 B에서, 각 DEF와 같은 각 ABG가 만들어진다고 하자. 그리고 각 A는 각 D와 같고, 각 ABG는 각 DEF와 같으므로, 남은 각 AGB는 남은 각 DFE와 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABG는 삼각형 DEF와 등각삼각형이다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ὑπόκειται ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ·
그러므로 AB가 BG에 대하여 가지는 비는 DE가 EF에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 DE가 EF에 대하여 가지는 비는 가정에 의해 AB가 BC에 대하여 가지는 비와 같다.
ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΓ, ΒΗ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
그러므로 AB는 BC, BG의 각각에 대하여 같은 비를 가진다.
ἴση ἄρα ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΗΓ ἐστιν ἴση.
그러므로 BC는 BG와 같다. 따라서 C에서의 각도 각 BGC와 같다.
ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ὑπόκειται ἡ πρὸς τῷ Γ·
그런데 C에서의 각은 가정에 의해 직각보다 작다.
ἐλάττων ἄρα ἐστὶν ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ·
그러므로 각 BGC도 직각보다 작다.
ὥστε ἡ ἐφεξῆς αὐτῇ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΗΒ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.
따라서 그것에 인접한 각인 각 AGB는 직각보다 크다.
καὶ ἐδείχθη ἴση οὖσα τῇ πρὸς τῷ Ζ·
그런데 그것은 F에서의 각과 같다고 증명되었다.
καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ ἄρα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.
그러므로 F에서의 각도 직각보다 크다.
ὑπόκειται δὲ ἐλάσσων ὀρθῆς·
그런데 그것은 직각보다 작다고 가정되었다.
ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.
이것은 모순이다.
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ·
그러므로 각 ABC는 각 DEF와 같지 않지 않다.
ἴση ἄρα.
그러므로 같다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Α ἴση τῇ πρὸς τῷ Δ·
그리고 A에서의 각도 D에서의 각과 같다.
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση ἐστίν.
그러므로 남은 C에서의 각도 남은 F에서의 각과 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABC는 삼각형 DEF와 등각삼각형이다.
ἀλλὰ δὴ πάλιν ὑποκείσθω ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Γ, Ζ μὴ ἐλάσσων ὀρθῆς·
그러나 다시 C, F에서의 각들의 각각이 직각보다 작지 않다고 가정하자.
λέγω πάλιν, ὅτι καὶ οὕτως ἐστὶν ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
나는 다시 주장한다, 이렇게 하더라도 삼각형 ABC는 삼각형 DEF와 등각삼각형이다.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ·
왜냐하면 같은 작도를 하면, 우리는 마찬가지로 BC가 BG와 같음을 증명할 것이다.
ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστίν.
따라서 C에서의 각도 각 BGC와 같다.
οὐκ ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἡ πρὸς τῷ Γ·
그런데 C에서의 각은 직각보다 작지 않다.
οὐκ ἐλάττων ἄρα ὀρθῆς οὐδὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ. τριγώνου δὴ τοῦ ΒΗΓ αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν οὔκ εἰσιν ἐλάττονες·
그러므로 각 BGC도 직각보다 작지 않다. 그렇다면 실로 삼각형 BGC에서 두 각이 두 직각보다 작지 않게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα πάλιν ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ·
그러므로 다시 각 ABC는 각 DEF와 같지 않지 않다.
ἴση ἄρα.
그러므로 같다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ ἴση·
그리고 A에서의 각도 D에서의 각과 같다.
λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση ἐστίν.
그러므로 남은 C에서의 각도 남은 F에서의 각과 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABC는 삼각형 DEF와 등각삼각형이다.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, τῶν δὲ λοιπῶν ἑκατέραν ἅμα ἐλάττονα ἢ μὴ ἐλάττονα ὀρθῆς, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, περὶ ἃς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί·
그러므로 만일 두 삼각형이 한 각을 다른 한 각과 같게 가지고, 다른 각들을 끼고 있는 변들이 비례하며, 남은 각들의 각각이 동시에 직각보다 작거나 혹은 직각보다 작지 않다면, 그 삼각형들은 등각삼각형이고, 또한 변들이 비례하는 각들이 서로 같을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.