§6.prop.5ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχῃ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφʼ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
もし2つの三角形がその辺を比例関係に持つならば、それらの三角形は等角であり、また対応する辺が対面する角を等しく持つであろう。
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχοντα, ὡς μὲν τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ὡς δὲ τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ἔτι ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ. λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ καὶ ἴσας ἕξουσι τὰς γωνίας, ὑφʼ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖΔ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ.
συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Ε, Ζ τῇ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΗ, τῇ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΖΗ·
2つの三角形ABC, DEFがその辺を比例関係に持っているとせよ、すなわち、ABがBCに対する比はDEがEFに対する比と同じであり、BCが CAに対する比はEFがFDに対する比と同じであり、さらに、BAがACに対する比はEDがDFに対する比と同じである。 私は言う、三角形ABCは三角形DEFと等角であり、それらは対応する辺が対面する角を等しく持つ、すなわち、角ABCは角DEFに等しく、角 BCAは角EFDに等しく、さらに角BACは角EDFに等しい。 なぜなら、直線EFとその上にある点E, Fにおいて、角ABCに等しい角FEGが、角ACBに等しい角EFGが作られるとせよ。
λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Α λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Η ἐστιν ἴση.
したがって、残りのAにおける角は、残りのGにおける角に等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΗΖ.
したがって、三角形ABCは三角形EGFと等角である。
τῶν ἄρα ΑΒΓ, ΕΗΖ τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι·
それゆえ、三角形ABC, EGFにおいて、等しい角を挟む辺は比例し、また等しい角に対する辺は対応する。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ὑπόκειται ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ·
したがって、ABがBCに対する比は、GEがEFに対する比と同じである。 しかし、 ABがBCに対する比は、仮定によりDEがEFに対する比と同じである。
ὡς ἄρα ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἑκατέρα ἄρα τῶν ΔΕ, ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
したがって、DEがEFに対する比は、GEがEFに対する比と同じである。 したがって、DE, GEの各々はEFに対して同じ比を持つ。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΗΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση.
それゆえ、DEはGEに等しい。 全く同じ理由で、DFもGFに等しい。
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΗΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν·
それゆえ、DEはEGに等しく、 EFは共通であるので、2辺DE, EFは2辺GE, EFにそれぞれ等しい。
καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΗ ἴση·
そして底辺DFは底辺FGに等しい。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΗΕΖ τριγώνῳ ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
したがって、角DEFは角GEFに等しく、三角形DEFは三角形GEFに等しく、残りの角は、等しい辺が対面する残りの角に等しい。
ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΗΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΖΕΔ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση, ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση.
したがって、角DFEは角GFEに等しく、角EDFは角EGFに等しい。 そして、角FEDは角GEFに等しく、さらに角GEFは角ABCに等しいので、したがって角ABCも角DEFに等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση, καὶ ἔτι ἡ πρὸς τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ·
全く同じ理由で、角ACBも角 DFEに等しく、さらにAにおける角はDにおける角に等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
したがって、三角形ABCは三角形DEFと等角である。
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχῃ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφʼ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
したがって、もし2つの三角形がその辺を比例関係に持つならば、それらの三角形は等角であり、また対応する辺が対面する角を等しく持つであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。