§6.prop.5ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχῃ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφʼ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
만일 두 삼각형이 그 변들이 비례한다면, 그 삼각형들은 등각삼각형이고, 또한 대응하는 변들이 마주 보는 각들이 서로 같을 것이다.
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχοντα, ὡς μὲν τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ὡς δὲ τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ἔτι ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ. λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ καὶ ἴσας ἕξουσι τὰς γωνίας, ὑφʼ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖΔ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ.
συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Ε, Ζ τῇ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΗ, τῇ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΖΗ·
두 삼각형 ABC, DEF가 그 변들이 비례한다고 하자, 즉 AB가 BC에 대하여 가지는 비는 DE가 EF에 대하여 가지는 비와 같고, BC가 CA에 대하여 가지는 비는 EF가 FD에 대하여 가지는 비와 같으며, 또한 BA가 AC에 대하여 가지는 비는 ED가 DF에 대하여 가지는 비와 같다고 하자. 나는 주장한다, 삼각형 ABC는 삼각형 DEF와 등각삼각형이고, 대응하는 변들이 마주 보는 각들이 서로 같다, 즉 각 ABC는 각 DEF와 같고, 각 BCA는 각 EFD와 같으며, 또한 각 BAC는 각 EDF와 같다고. 왜냐하면 직선 EF와 그 위의 점 E, F에서, 각 ABC와 같은 각 FEG가 만들어지고, 각 ACB와 같은 각 EFG가 만들어진다고 하자.
λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Α λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Η ἐστιν ἴση.
그러므로 A에서의 남은 각은 G에서의 남은 각과 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΗΖ.
그러므로 삼각형 ABC는 삼각형 EGF와 등각삼각형이다.
τῶν ἄρα ΑΒΓ, ΕΗΖ τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι·
그러므로 삼각형 ABC, EGF에서 같은 각을 끼고 있는 변들은 비례하고, 같은 각을 마주 보는 변들은 대응한다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ὑπόκειται ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ·
그러므로 AB가 BC에 대하여 가지는 비는 GE가 EF에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 AB가 BC에 대하여 가지는 비는 가정에 의해 DE가 EF에 대하여 가지는 비와 같다.
ὡς ἄρα ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἑκατέρα ἄρα τῶν ΔΕ, ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
그러므로 DE가 EF에 대하여 가지는 비는 GE가 EF에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 DE, GE 각각은 EF에 대하여 같은 비를 가진다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΗΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση.
그러므로 DE는 GE와 같다. 같은 이유로 DF도 GF와 같다.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΗΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν·
DE는 EG와 같고, EF는 공통이므로, 두 변 DE, EF는 두 변 GE, EF와 각각 같다.
καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΗ ἴση·
그리고 밑변 DF는 밑변 FG와 같다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΗΕΖ τριγώνῳ ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
그러므로 각 DEF는 각 GEF와 같고, 삼각형 DEF는 삼각형 GEF와 같으며, 남은 각들은 같은 변들이 마주 보는 남은 각들과 같다.
ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΗΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΖΕΔ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση, ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 DFE도 각 GFE와 같고, 각 EDF는 각 EGF와 같다. 그리고 각 FED는 각 GEF와 같고, 각 GEF는 각 ABC와 같으므로, 그러므로 각 ABC도 각 DEF와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση, καὶ ἔτι ἡ πρὸς τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ·
같은 이유로 각 ACB도 각 DFE와 같고, 또한 A에서의 각은 D에서의 각과 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABC는 삼각형 DEF와 등각삼각형이다.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχῃ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφʼ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
그러므로 만일 두 삼각형이 그 변들이 비례한다면, 그 삼각형들은 등각삼각형이고, 또한 대응하는 변들이 마주 보는 각들이 서로 같을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.