§6.prop.4τῶν ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι.
等角三角形において、等しい角を挟む辺は比例し、また等しい角に対する辺は対応する。
ἔστω ἰσογώνια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ ἴσην ἔχοντα τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΓΕ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΕΔ·
等角三角形ABC, DCEがあり、角ABCは角DCEに等しく、角BACは角CDEに等しく、さらに角ACBは角CEDに等しいとせよ。
λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓ, ΔΓΕ τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι.
私は言う、三角形ABC, DCEにおいて、等しい角を挟む辺は比例し、また等しい角に対する辺は対応する、と。
κείσθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ. καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν·
なぜなら、BCがCEと一直線上に置かれるとせよ。 そして、角ABCとACBは2直角より小さく、角 ACBは角DEGに等しいので、したがって角ABCとDEGは2直角より小さい。
αἱ ΒΑ, ΕΔ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται.
したがって、BAとEDは延長されると交わるであろう。
ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ζ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΓΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΖ τῇ ΓΔ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΖΕ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΑΓΔ·
これらが延長され、Zにおいて交わるとせよ。 そして、角DCEは角ABCに等しいので、 BZはCDに平行である。 再び、角ACBは角DEGに等しいので、ACはZEに平行である。 したがって、ZACDは平行四辺形である。
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΖΑ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΖΔ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ παρὰ μίαν τὴν ΖΕ ἦκται ἡ ΑΓ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΖ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ. ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΓΔ·
それゆえ、ZAはCDに等しく、ACはZDに等しい。 そして、三角形ZBEの辺の1つであるZEに平行にACが引かれたので、したがって、 BAがAZに対する比は、BCがCEに対する比と同じである。 しかし、AZはCDに等しい。
ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ. πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΒΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ. ἴση δὲ ἡ ΖΔ τῇ ΑΓ·
したがって、BAがCDに対する比は、BCがCEに対する比と同じであり、交互に、ABがBCに対する比は、CDがCEに対する比と同じである。 再び、CDはBZに平行であるので、したがって、BCがCEに対する比は、ZDが DEに対する比と同じである。 しかし、ZDはACに等しい。
ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, ὡς δὲ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ.
τῶν ἄρα ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι·
したがって、BCがCEに対する比は、ACがDEに対する比と同じであり、交互に、BCがCAに対する比は、CEがEDに対する比と同じである。 それゆえ、ABがBCに対する比はDCがCEに対する比と同じであり、BCがCAに対する比はCEがEDに対する比と同じであることが示されたので、等比の関係により、BAがACに対する比は、CDがDEに対する比と同じである。 したがって、等角三角形において、等しい角を挟む辺は比例し、また等しい角に対する辺は対応する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。