§6.prop.24παντὸς παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.
任意の平行四辺形において、対角線のまわりにある平行四辺形は、全体とも、互いとも相似である。
ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα ἔστω τὰ ΕΗ, ΘΚ· λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλληλογράμμων ὅμοιόν ἐστι ὅλῳ τῷ ΑΒΓΔ καὶ ἀλλήλοις. ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΕΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως, ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ. πάλιν, ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΓΔ παρὰ μίαν τὴν ΓΔ ἦκται ἡ ΖΗ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΑ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἐδείχθη καὶ ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ·
平行四辺形をΑΒΓΔ、その対角線をΑΓとし、ΑΓのまわりにある平行四辺形を ΕΗ、ΘΚとせよ。私は、平行四辺形ΕΗ、ΘΚのそれぞれが、全体のΑΒΓΔとも、互いとも相似であると主張する。なぜなら、三角形ΑΒΓの辺の1つであるΒΓに平行にΕΖが引かれているので、 ΒΕのΕΑに対する比のように、そのようにΓΖのΖΑに対する比となり、比例する。 さらに、三角形ΑΓΔの1つの辺ΓΔに平行にΖΗが引かれているので、ΓΖのΖΑに対する比のように、そのようにΔΗのΗΑに対する比となり、比例する。 しかし、 ΓΖのΖΑに対する比のように、そのようにΒΕのΕΑに対する比であることも示された。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΑ, καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς ΑΗ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΗ. τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὴν κοινὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΔ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗΖ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΑ·
したがって、ΒΕのΕΑに対する比のように、そのようにΔΗのΗΑに対する比であり、したがって合比によって、ΒΑのΑΕに対する比のように、そのようにΔΑのΑΗに対する比であり、互い違いの比によって、ΒΑのΑΔに対する比のように、そのようにΕΑのΑΗに対する比である。 したがって、平行四辺形ΑΒΓΔ、ΕΗにおいて、共通の角ΒΑΔのまわりにある辺は比例する。 そして、ΗΖがΔΓに平行であるので、角ΑΖΗは角ΔΓΑと等しい。
καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τῶν ΑΔΓ, ΑΗΖ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία·
そして、2つの三角形ΑΔΓ、ΑΗΖの共通の角は角ΔΑΓである。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ.
したがって、三角形ΑΔΓは三角形ΑΗΖと等角である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΓΒ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΑΖΕ τριγώνῳ, καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ ἰσογώνιόν ἐστιν.
まったく同じ理由により、三角形ΑΓΒも三角形ΑΖΕと等角であり、全体の平行四辺形ΑΒΓΔも平行四辺形ΕΗと等角である。
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, καὶ ἔτι ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΑ. καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ. τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας·
したがって、ΑΔのΔΓに対する比のように、そのようにΑΗのΗΖに対する比であり、ΔΓのΓΑに対する比のように、そのように ΗΖのΖΑに対する比であり、ΑΓのΓΒに対する比のように、そのようにΑΖのΖΕに対する比であり、さらにΓΒのΒΑに対する比のように、そのようにΖΕのΕΑに対する比となり、比例する。 そして、ΔΓのΓΑに対する比のように、そのようにΗΖのΖΑに対する比であり、ΑΓのΓΒに対する比のように、そのようにΑΖのΖΕに対する比であることが示されたので、等比の理により、 ΔΓのΓΒに対する比のように、そのようにΗΖのΖΕに対する比である。 したがって、平行四辺形ΑΒΓΔ、ΕΗにおいて、等しい角のまわりにある辺は比例する。
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ.
したがって、平行四辺形ΑΒΓΔは平行四辺形ΕΗと相似である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τῷ ΚΘ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν·
まったく同じ理由により、平行四辺形ΑΒΓΔは平行四辺形ΚΘ とも相似である。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλληλογράμμων τῷ ΑΒΓΔ ὅμοιόν ἐστιν.
したがって、平行四辺形ΕΗ、ΘΚのそれぞれは、ΑΒΓΔと相似である。
τὰ δὲ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια·
しかし、同じ直線図形に相似な図形は、互いにも相似である。
καὶ τὸ ΕΗ ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν.
したがって、平行四辺形ΕΗも平行四辺形ΘΚと相似である。
παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις·
したがって、任意の平行四辺形において、対角線のまわりにある平行四辺形は、全体とも、互いとも相似である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。