§6.prop.24παντὸς παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.
在任意平行四边形中，关于对角线的平行四边形既与整个平行四边形相似，也彼此相似。
ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα ἔστω τὰ ΕΗ, ΘΚ· λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλληλογράμμων ὅμοιόν ἐστι ὅλῳ τῷ ΑΒΓΔ καὶ ἀλλήλοις. ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΕΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως, ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ. πάλιν, ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΓΔ παρὰ μίαν τὴν ΓΔ ἦκται ἡ ΖΗ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΑ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἐδείχθη καὶ ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΑ, καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς ΑΗ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΗ. τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὴν κοινὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΔ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗΖ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΑ· καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τῶν ΑΔΓ, ΑΗΖ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ.
设平行四边形为 ΑΒΓΔ，其对角线为 ΑΓ，且关于 ΑΓ 的平行四边形为 ΕΗ、ΘΚ；我说，平行四边形 ΕΗ、ΘΚ 中的每一个都与整个平行四边形 ΑΒΓΔ 相似，且彼此相似。因为，既然平行于三角形 ΑΒΓ 的一条边 ΒΓ 引了 ΕΖ，则成比例地，如 ΒΕ 对 ΕΑ，则 ΓΖ 对 ΖΑ。 再次，既然平行于三角形 ΑΓΔ 的一条边 ΓΔ 引了 ΖΗ，则成比例地，如 ΓΖ 对 ΖΑ，则 ΔΗ 对 ΗΑ。 但是，如 ΓΖ 对 ΖΑ，如此也已证明 ΒΕ 对 ΕΑ；因此，如 ΒΕ 对 ΕΑ，则 ΔΗ 对 ΗΑ，因此合比地，如 ΒΑ 对 ΑΕ，则 ΔΑ 对 ΑΗ，且更比地，如 ΒΑ 对 ΑΔ，则 ΕΑ 对 ΑΗ。 因此，在平行四边形 ΑΒΓΔ、ΕΗ 中，关于公共角 ΒΑΔ 的边是成比例的。 又因为 ΗΖ 平行于 ΔΓ，所以角 ΑΖΗ 等于角 ΔΓΑ；且角 ΔΑΓ 是两个三角形 ΑΔΓ、ΑΗΖ 的公共角；因此三角形 ΑΔΓ 与三角形 ΑΗΖ 是等角的。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΓΒ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΑΖΕ τριγώνῳ, καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ ἰσογώνιόν ἐστιν.
正是由于同样的原因，三角形 ΑΓΒ 也与三角形 ΑΖΕ 是等角的，且整个平行四边形 ΑΒΓΔ 与平行四边形 ΕΗ 是等角的。
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, καὶ ἔτι ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΑ. καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ. τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ.
因此，成比例地，如 ΑΔ 对 ΔΓ，则 ΑΗ 对 ΗΖ，如 ΔΓ 对 ΓΑ，则 ΗΖ 对 ΖΑ，如 ΑΓ 对 ΓΒ，则 ΑΖ 对 ΖΕ，且更如 ΓΒ 对 ΒΑ，则 ΖΕ 对 ΕΑ。 又因为已证明，如 ΔΓ 对 ΓΑ，则 ΗΖ 对 ΖΑ，而如 ΑΓ 对 ΓΒ，则 ΑΖ 对 ΖΕ，因此，通过等比定理，如 ΔΓ 对 ΓΒ，则 ΗΖ 对 ΖΕ。 因此，在平行四边形 ΑΒΓΔ、ΕΗ 中，关于等角的边是成比例的；因此平行四边形 ΑΒΓΔ 与平行四边形 ΕΗ 相似。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τῷ ΚΘ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλληλογράμμων τῷ ΑΒΓΔ ὅμοιόν ἐστιν.
正是由于同样的原因，平行四边形 ΑΒΓΔ 也与平行四边形 ΚΘ 相似；因此平行四边形 ΕΗ、ΘΚ 中的每一个都与 ΑΒΓΔ 相似。
τὰ δὲ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια· καὶ τὸ ΕΗ ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν.
而与同一型直线图形相似的图形也彼此相似；因此平行四边形 ΕΗ 也与平行四边形 ΘΚ 相似。
παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，在任意平行四边形中，关于对角线的平行四边形既与整个平行四边形相似，也彼此相似；这就是所要证明的。