§6.prop.24παντὸς παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.
임의의 평행사변형에서 대각선 주변에 있는 평행사변형들은 전체와도 서로와도 닮음이다.
ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα ἔστω τὰ ΕΗ, ΘΚ· λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλληλογράμμων ὅμοιόν ἐστι ὅλῳ τῷ ΑΒΓΔ καὶ ἀλλήλοις.
평행사변형을 ΑΒΓΔ라 하고, 그것의 대각선을 ΑΓ라 하자. 그리고 ΑΓ 주변에 있는 평행사변형들을 ΕΗ, ΘΚ라 하자. 나는 평행사변형 ΕΗ, ΘΚ 각각이 전체 ΑΒΓΔ와도 서로와도 닮음이라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΕΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως, ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ. πάλιν, ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΓΔ παρὰ μίαν τὴν ΓΔ ἦκται ἡ ΖΗ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΑ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἐδείχθη καὶ ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ·
왜냐하면 삼각형 ΑΒΓ의 한 변 ΒΓ에 평행하게 ΕΖ가 그어졌으므로, 비례하여 ΒΕ가 ΕΑ에 대함과 같이 그렇게 ΓΖ가 ΖΑ에 대한다. 다시, 삼각형 ΑΓΔ의 한 변 ΓΔ에 평행하게 ΖΗ가 그어졌으므로, 비례하여 ΓΖ가 ΖΑ에 대함과 같이 그렇게 ΔΗ가 ΗΑ에 대한다. 그런데 ΓΖ가 ΖΑ에 대함과 같이 그렇게 ΒΕ가 ΕΑ에 대한다는 것도 증명되었다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΑ, καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς ΑΗ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΗ. τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὴν κοινὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΔ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗΖ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΑ·
그러므로 ΒΕ가 ΕΑ에 대함과 같이 그렇게 ΔΗ가 ΗΑ에 대하며, 따라서 합비에 의해, ΒΑ가 ΑΕ에 대함과 같이 그렇게 ΔΑ가 ΑΗ에 대하고, 교대비에 의해, ΒΑ가 ΑΔ에 대함과 같이 그렇게 ΕΑ가 ΑΗ에 대한다. 그러므로 평행사변형 ΑΒΓΔ, ΕΗ에서 공통각 ΒΑΔ 주변의 변들은 비례한다. 그리고 ΗΖ가 ΔΓ와 평행하므로 각 ΑΖΗ는 각 ΔΓΑ와 같다.
καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τῶν ΑΔΓ, ΑΗΖ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία·
그리고 두 삼각형 ΑΔΓ, ΑΗΖ의 공통각은 각 ΔΑΓ이다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ΑΔΓ는 삼각형 ΑΗΖ와 등각이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΓΒ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΑΖΕ τριγώνῳ, καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ ἰσογώνιόν ἐστιν.
똑같은 이유로 삼각형 ΑΓΒ도 삼각형 ΑΖΕ와 등각이고, 전체 평행사변형 ΑΒΓΔ도 평행사변형 ΕΗ와 등각이다.
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, καὶ ἔτι ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΑ. καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ. τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας·
그러므로 비례하여 ΑΔ가 ΔΓ에 대함과 같이 그렇게 ΑΗ가 ΗΖ에 대하고, ΔΓ가 ΓΑ에 대함과 같이 그렇게 ΗΖ가 ΖΑ에 대하며, ΑΓ가 ΓΒ에 대함과 같이 그렇게 ΑΖ가 ΖΕ에 대하고, 게다가 ΓΒ가 ΒΑ에 대함과 같이 그렇게 ΖΕ가 ΕΑ에 대한다. 그리고 ΔΓ가 ΓΑ에 대함과 같이 그렇게 ΗΖ가 ΖΑ에 대하고, ΑΓ가 ΓΒ에 대함과 같이 그렇게 ΑΖ가 ΖΕ에 대한다고 증명되었으므로, 등비의 리에 의해, ΔΓ가 ΓΒ에 대함과 같이 그렇게 ΗΖ가 ΖΕ에 대한다. 그러므로 평행사변형 ΑΒΓΔ, ΕΗ에서 같은 각들 주변의 변들은 비례한다.
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ.
그러므로 평행사변형 ΑΒΓΔ는 평행사변형 ΕΗ와 닮음이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τῷ ΚΘ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν·
똑같은 이유로 평행사변형 ΑΒΓΔ는 평행사변형 ΚΘ 와도 닮음이다.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλληλογράμμων τῷ ΑΒΓΔ ὅμοιόν ἐστιν.
그러므로 평행사변형 ΕΗ, ΘΚ 각각은 ΑΒΓΔ와 닮음이다.
τὰ δὲ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια·
그런데 같은 직선도형과 닮음인 도형들은 서로와도 닮음이다.
καὶ τὸ ΕΗ ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν.
그러므로 평행사변형 ΕΗ도 평행사변형 ΘΚ와 닮음이다.
παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις·
그러므로 임의의 평행사변형에서 대각선 주변에 있는 평행사변형들은 전체와도 서로와도 닮음이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.