§6.prop.17ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ·
3つの直線が比例するならば、外項によって囲まれる長方形は中項の上の正方形に等しい。
κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.
また、たとえ外項によって囲まれる長方形が中項の上の正方形に等しくとも、3つの直線は比例するであろう。
ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ·
3つの比例する直線 A, B, Γ があり、A の B に対する比は B の Γ に対する比と同じであるとせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς β τετραγώνῳ.
私は言う、A, Γ によって囲まれる長方形は、B の上の正方形に等しい。
κείσθω τῇ Β ἴση ἡ Δ.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Δ πρὸς τὴν Γ. ἐὰν δὲ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
B に等しい Δ が置かれるとせよ。 そして、A の B に対する比は B の Γ に対する比と同じであり、また B は Δ に等しいから、したがって、A の B に対する比は Δ の Γ に対する比と同じである。 4つの直線が比例するならば、外項によって囲まれる長方形は内項によって囲まれる長方形に等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Δ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Δ τὸ ἀπὸ τῆς Β ἐστιν·
したがって、A, Γ によるものは B, Δ によるものに等しい。 しかし、B, Δ によるものは B の上の（正方形）である。
ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ·
なぜなら B は Δ に等しいからである。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β τετραγώνῳ.
したがって、A, Γ によって囲まれる長方形は B の上の正方形に等しい。
ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς Β·
しかし今度は、A, Γ によるものが B の上の（正方形）に等しいとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς Β τὸ ὑπὸ τῶν Β, Δ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ·
私は言う、A の B に対する比は B の Γ に対する比と同じである。 なぜなら、同じように作図されたとき、A, Γ によるものが B の上の（正方形）に等しく、しかし B の上の（正方形）は B, Δ によるものであるから（なぜなら B は Δ に等しいから）、したがって A, Γ によるものは B, Δ によるものに等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Δ. ἐὰν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν.
しかし外項によるものが内項によるものに等しいならば、4つの直線は比例する。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Γ. ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ· ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ.
ἐὰν ἄρα τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ·
したがって、A の B に対する比は Δ の Γ に対する比と同じである。 そして B は Δ に等しいから、したがって、A の B に対する比は、B の Γ に対する比と同じである。 したがって、3つの直線が比例するならば、外項によって囲まれる長方形は中項の上の正方形に等しい。
κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται·
また、たとえ外項によって囲まれる長方形が中項の上の正方形に等しくとも、3つの直線は比例するであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§6.prop.18ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγράψαι.
与えられた直線の上に、与えられた直線図形に相似で、かつ同様に位置する直線図形を作図すること。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΓΕ·
与えられた直線を AB、与えられた直線図形を ΓE とせよ。
δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τῷ ΓΕ εὐθυγράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγράψαι.
よって、AB 直線の上に、ΓE 直線図形に相似で、かつ同様に位置する直線図形を作図しなければならない。
ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Α, Β τῇ μὲν πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΑΒ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΗ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΔ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ ἐστιν ἴση·
ΔZ が結ばれるとせよ。 そして、AB 直線、およびその上の点 A, B において、Γ における角に等しい HAB が、また ΓΔZ に対し等しい ABH が作られるとせよ。 したがって、残りの ΓZΔ は残りの AHB に等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΓΔ τρίγωνον τῷ ΗΑΒ τριγώνῳ.
したがって、三角形 ZΓΔ は三角形 HAB と等角である。
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΗΑ, καὶ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ. πάλιν συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Β, Η τῇ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΘ, τῇ δὲ ὑπὸ ΖΔΕ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΒΘ. λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Ε λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Θ ἐστιν ἴση·
したがって、比例して、ZΔ の HB に対する比は ZΓ の HA に対する比、および ΓΔ の AB に対する比と同じである。 再び、BH 直線、およびその上の点 B, H において、ΔZE 角に等しい BHΘ が、また ZΔE に対し等しい HBΘ が作られるとせよ。 したがって、残りの E における（角）は、残りの Θ における（角）に等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΔΕ τρίγωνον τῷ ΗΘΒ τριγώνῳ·
したがって、三角形 ZΔE は三角形 HΘB と等角である。
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΘ καὶ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΘΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΗΑ καὶ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ·
したがって、比例して、ZΔ の HB に対する比は ZE の HΘ に対する比、および EΔ の ΘB に対する比と同じである。 また、ZΔ の HB に対する比は ZΓ の HA に対する比、および ΓΔ の AB に対する比と同じであることが示された。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἥ τε ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ καὶ ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΘ καὶ ἔτι ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΘΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΗΘ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΕ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση.
したがって、ZΓ の AH に対する比は、ΓΔ の AB に対する比、および ZE の HΘ に対する比、さらには EΔ の ΘB に対する比と同じである。 そして、ΓZΔ 角は AHB に等しく、ΔZE は BHΘ に等しいから、したがって、全体としての ΓZE は全体としての AHΘ に等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΘ ἐστιν ἴση.
同じ理由により、 ΓΔE は ABΘ に等しい。
ἔστι δὲ καὶ ἡ μὲν πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Α ἴση, ἡ δὲ πρὸς τῷ Ε τῇ πρὸς τῷ Θ. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ τῷ ΓΕ·
また、Γ におけるものは A におけるものに等しく、E におけるものは Θ におけるものに等しい。 したがって、AΘ は ΓE と等角である。
καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας αὐτῶν πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει·
そして、それらの等しい角を挟む辺は比例する。
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ εὐθύγραμμον τῷ ΓΕ εὐθυγράμμῳ.
したがって、直線図形 AΘ は直線図形 ΓE に相似である。
ἀπὸ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΓΕ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγέγραπται τὸ ΑΘ·
したがって、与えられた直線 AB の上に、与えられた直線図形 ΓE に相似で、かつ同様に位置する直線図形 AΘ が作図された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。