§6.prop.17ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ·
세 직선이 비례한다면, 외항들에 의해 둘러싸인 직사각형은 중항 상의 정사각형과 같다.
κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.
그리고 외항들에 의해 둘러싸인 직사각형이 중항 상의 정사각형과 같을지라도, 세 직선은 비례할 것이다.
ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ·
세 비례하는 직선 A, B, Γ가 있어, A가 B에 대하여 가지는 비는 B가 Γ에 대하여 가지는 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς β τετραγώνῳ.
나는 A, Γ에 의해 둘러싸인 직사각형은 B 상의 정사각형과 같다고 말한다.
κείσθω τῇ Β ἴση ἡ Δ.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Δ πρὸς τὴν Γ. ἐὰν δὲ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
B와 같은 Δ가 놓이게 하라. 그리고 A가 B에 대하여 가지는 비는 B가 Γ에 대하여 가지는 비와 같고, B는 Δ와 같으므로, 그러므로 A가 B에 대하여 가지는 비는 Δ가 Γ에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 네 직선이 비례한다면, 외항들에 의해 둘러싸인 직사각형은 내항들에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Δ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Δ τὸ ἀπὸ τῆς Β ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ·
그러므로 A, Γ에 의한 것은 B, Δ에 의한 것과 같다. 그런데 B, Δ에 의한 것은 B 상의 정사각형이다(왜냐하면 B는 Δ와 같기 때문).
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β τετραγώνῳ.
그러므로 A, Γ에 의해 둘러싸인 직사각형은 B 상의 정사각형과 같다.
ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς Β·
하지만 이번에는 A, Γ에 의한 것이 B 상의 정사각형과 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς Β τὸ ὑπὸ τῶν Β, Δ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ·
나는 A가 B에 대하여 가지는 비는 B가 Γ에 대하여 가지는 비와 같다고 말한다. 왜냐하면 같은 작도가 이루어졌을 때, A, Γ에 의한 것이 B 상의 정사각형과 같고, 그런데 B 상의 정사각형은 B, Δ에 의한 것이므로(왜냐하면 B는 Δ와 같기 때문), 그러므로 A, Γ에 의한 것은 B, Δ에 의한 것과 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Δ. ἐὰν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν.
그런데 외항들에 의한 것이 내항들에 의한 것과 같다면, 네 직선은 비례한다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Γ. ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ· ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ.
ἐὰν ἄρα τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ·
그러므로 A가 B에 대하여 가지는 비는 Δ가 Γ에 대하여 가지는 비와 같다. 그리고 B는 Δ와 같으므로, 그러므로 A가 B에 대하여 가지는 비는 B가 Γ에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 세 직선이 비례한다면, 외항들에 의해 둘러싸인 직사각형은 중항 상의 정사각형과 같다.
κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται·
그리고 외항들에 의해 둘러싸인 직사각형이 중항 상의 정사각형과 같을지라도, 세 직선은 비례할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여주고자 했던 것이다.
§6.prop.18ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγράψαι.
주어진 직선 위에, 주어진 직선도형과 닮음이고 또한 닮은 위치에 놓인 직선도형을 그리는 것.
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΓΕ·
주어진 직선을 AB, 주어진 직선도형을 ΓE라 하자.
δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τῷ ΓΕ εὐθυγράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγράψαι.
그러면 AB 직선 위에 ΓE 직선도형과 닮음이고 또한 닮은 위치에 놓인 직선도형을 그려야 한다.
ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Α, Β τῇ μὲν πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΑΒ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΗ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΔ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ ἐστιν ἴση·
ΔZ가 연결되게 하고, AB 직선 및 그 위의 점 A, B에서, Γ에 있는 각과 같은 HAB가 만들어지고, ΓΔZ와 같은 ABH가 만들어지게 하라. 그러므로 남은 ΓZΔ는 남은 AHB와 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΓΔ τρίγωνον τῷ ΗΑΒ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ZΓΔ는 삼각형 HAB와 등각이다.
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΗΑ, καὶ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ. πάλιν συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Β, Η τῇ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΘ, τῇ δὲ ὑπὸ ΖΔΕ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΒΘ. λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Ε λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Θ ἐστιν ἴση·
그러므로 비례하여, ZΔ가 HB에 대하여 가지는 비는 ZΓ가 HA에 대하여 가지는 비, 그리고 ΓΔ가 AB에 대하여 가지는 비와 같다. 다시 BH 직선 및 그 위의 점 B, H에서, ΔZE 각과 같은 BHΘ가 만들어지고, ZΔE와 같은 HBΘ가 만들어지게 하라. 그러므로 남은 E에서의 각은 남은 Θ에서의 각과 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΔΕ τρίγωνον τῷ ΗΘΒ τριγώνῳ·
그러므로 삼각형 ZΔE는 삼각형 HΘB와 등각이다.
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΘ καὶ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΘΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΗΑ καὶ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ·
그러므로 비례하여, ZΔ가 HB에 대하여 가지는 비는 ZE가 HΘ에 대하여 가지는 비, 그리고 EΔ가 ΘB에 대하여 가지는 비와 같다. 또한 ZΔ가 HB에 대하여 가지는 비는 ZΓ가 HA에 대하여 가지는 비, 그리고 ΓΔ가 AB에 대하여 가지는 비와 같음이 증명되었다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἥ τε ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ καὶ ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΘ καὶ ἔτι ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΘΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΗΘ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΕ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση.
그러므로 ZΓ가 AH에 대하여 가지는 비는 ΓΔ가 AB에 대하여 가지는 비, 그리고 ZE가 HΘ에 대하여 가지는 비, 더 나아가 EΔ가 ΘB에 대하여 가지는 비와 같다. 그리고 ΓZΔ 각은 AHB와 같고, ΔZE는 BHΘ와 같으므로, 그러므로 전체 ΓZE는 전체 AHΘ와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΘ ἐστιν ἴση.
같은 이유로 ΓΔE는 ABΘ와 같다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ μὲν πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Α ἴση, ἡ δὲ πρὸς τῷ Ε τῇ πρὸς τῷ Θ. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ τῷ ΓΕ·
또한 Γ에서의 각은 A에서의 각과 같고, E에서의 각은 Θ에서의 각과 같다. 그러므로 AΘ는 ΓE와 등각이다.
καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας αὐτῶν πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει·
그리고 등각들을 품은 그것들의 변들은 비례한다.
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ εὐθύγραμμον τῷ ΓΕ εὐθυγράμμῳ.
그러므로 직선도형 AΘ는 직선도형 ΓE와 닮음이다.
ἀπὸ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΓΕ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγέγραπται τὸ ΑΘ·
그러므로 주어진 직선 AB 위에 주어진 직선도형 ΓE와 닮음이고 또한 닮은 위치에 놓인 직선도형 AΘ가 그려졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 것이다.