§6.prop.16ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ·
4つの直線が比例するならば、外項によって囲まれる長方形は内項によって囲まれる長方形に等しい。
κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.
また、たとえ外項によって囲まれる長方形が内項によって囲まれる長方形に等しくとも、4つの直線は比例するであろう。
ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ·
4つの比例する直線 AB, ΓΔ, E, Z があり、AB の ΓΔ に対する比は E の Z に対する比と同じであるとせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
私は言う、AB, Z によって囲まれる長方形は、 ΓΔ, E によって囲まれる長方形に等しい。
ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Γ σημείων ταῖς ΑΒ, ΓΔ εὐθείαις πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΗ, ΓΘ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Ζ ἴση ἡ ΑΓ, τῇ δὲ Ε ἴση ἡ ΓΘ. καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΒΗ, ΔΘ παραλληλόγραμμα.
点 A, Γ から、直線 AB, ΓΔ に対し、垂線 AH, ΓΘ が引かれるとせよ。 そして、Z に等しい AΓ が、また E に等しい ΓΘ が置かれるとせよ。 そして、平行四辺形 BH, ΔΘ が完成されるとせよ。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, ἴση δὲ ἡ μὲν Ε τῇ ΓΘ, ἡ δὲ Ζ τῇ ΑΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΑΗ. τῶν ΒΗ, ΔΘ ἄρα παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.
そして、AB の ΓΔ に対する比は E の Z に対する比と同じであり、また E は ΓΘ に等しく、Z は AH に等しいから、したがって、AB の ΓΔ に対する比は ΓΘ の AH に対する比と同じである。 したがって、平行四辺形 BH, ΔΘ において、等しい角を挟む辺は逆比例する。
ὧν δὲ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα·
等角な平行四辺形であって、等しい角を挟む辺が逆比例するものは、それらは互いに等しい。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΔΘ παραλληλογράμμῳ.
したがって、平行四辺形 BH は平行四辺形 ΔΘ に等しい。
καί ἐστι τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ· ἴση γὰρ ἡ ΑΗ τῇ Ζ· τὸ δὲ ΔΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε· ἴση γὰρ ἡ Ε τῇ ΓΘ·
そして、BH は AB, Z によって囲まれる長方形であり（なぜなら AH は Z に等しいから）、ΔΘ は ΓΔ, E によって囲まれる長方形である（なぜなら E は ΓΘ に等しいから）。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
したがって、 AB, Z によって囲まれる長方形は、ΓΔ, E によって囲まれる長方形に等しい。
ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἔστω τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ·
しかし今度は、AB, Z によって囲まれる長方形が、ΓΔ, E によって囲まれる長方形に等しいとせよ。
λέγω, ὅτι αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε, καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ τὸ ΒΗ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ Ζ· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε τὸ ΔΘ· ἴση γὰρ ἡ ΓΘ τῇ Ε·
私は言う、4つの直線は比例するであろう、すなわち、 AB の ΓΔ に対する比は、E の Z に対する比と同じである。 なぜなら、同じように作図されたとき、AB, Z によって囲まれるものが ΓΔ, E によって囲まれるものに等しく、そして AB, Z によるものは BH であり（なぜなら AH は Z に等しいから）、ΓΔ, E によるものは ΔΘ であるから（なぜなら ΓΘ は E に等しいから）、したがって BH は ΔΘ に等しい。
τὸ ἄρα ΒΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΘ. καί ἐστιν ἰσογώνια.
そしてそれらは等角である。
τῶν δὲ ἴσων καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.
等しくかつ等角な平行四辺形において、等しい角を挟む辺は逆比例する。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΑΗ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΓΘ τῇ Ε, ἡ δὲ ΑΗ τῇ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ.
ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ·
したがって、AB の ΓΔ に対する比は、ΓΘ の AH に対する比と同じである。 そして ΓΘ は E に等しく、AH は Z に等しいから、したがって、AB の ΓΔ に対する比は、E の Z に対する比と同じである。 したがって、4つの直線が比例するならば、外項によって囲まれる長方形は内項によって囲まれる長方形に等しい。
κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται·
また、たとえ外項によって囲まれる長方形が内項によって囲まれる長方形に等しくとも、4つの直線は比例するであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。