§6.prop.15τῶν ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας·
互いに等しく、かつ1つの角が他方に等しい三角形において、等しい角を挟む辺は逆比例する。
καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.
また、1つの角が他方に等しい三角形であって、等しい角を挟む辺が逆比例するものは、それらは互いに等しい。
ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΑΔΕ μίαν μιᾷ ἴσην ἔχοντα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΕ·
三角形ABΓ, AΔEは互いに等しく、1つの角が他方に等しい、すなわち角BAΓが角ΔAEに等しいとせよ。
λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ.
κείσθω γὰρ ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΓΑ τῇ ΑΔ·
私は言う、三角形ABΓ, AΔEにおいて、等しい角を挟む辺は逆比例する。 すなわち、ΓAの AΔに対する比は、EAのABに対する比と同じである。 なぜなら、ΓAがAΔと一直線上にあるように置かれるとせよ。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ.
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ, ἄλλο δέ τι τὸ ΒΑΔ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον.
したがって、EAもABと一直線上にある。 そして、BΔが結ばれるとせよ。 そのとき、三角形ABΓは三角形AΔEに等しく、別の何らかの三角形BAΔがあるから、三角形ΓABの三角形BAΔに対する比は、三角形EAΔの三角形BAΔに対する比と同じである。
ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΑΒ πρὸς τὸ ΒΑΔ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, ὡς δὲ τὸ ΕΑΔ πρὸς τὸ ΒΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ. τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.
しかし、ΓABのBAΔに対する比は、ΓAのAΔに対する比と同じであり、EAΔのBAΔに対する比は、EAのABに対する比と同じである。 したがって、 ΓAのAΔに対する比も、EAのABに対する比と同じである。 したがって、三角形ABΓ, AΔEにおいて、等しい角を挟む辺は逆比例する。
ἀλλὰ δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγώνων, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ·
しかしまた、三角形ABΓ, AΔEの辺が逆比例するとし、ΓAのAΔに対する比は、 EAのABに対する比と同じであるとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ.
私は言う、三角形ABΓは三角形AΔEに等しい。
Ἐπιζευχθείσης γὰρ πάλιν τῆς ΒΔ, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡς δὲ ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον.
なぜなら、再びBΔが結ばれたとき、ΓAのAΔに対する比はEAのABに対する比と同じであり、しかし、ΓAのAΔに対する比は三角形ABΓの三角形BAΔに対する比と同じであり、EAのABに対する比は三角形EAΔの三角形BAΔに対する比と同じであるから、三角形ABΓの三角形BAΔに対する比も、三角形EAΔの三角形BAΔに対する比と同じである。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΓ, ΕΑΔ πρὸς τὸ ΒΑΔ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.
したがって、ABΓ, EAΔのそれぞれは、BAΔに対して同じ比をもつ。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τῷ ΕΑΔ τριγώνῳ.
したがって、三角形ABΓは三角形EAΔに等しい。
τῶν ἄρα ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας·
したがって、等しく、かつ1つの角が他方に等しい三角形において、等しい角を挟む辺は逆比例する。
καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν·
また、1つの角が他方に等しい三角形であって、等しい角を挟む辺が逆比例するものは、それらは等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。