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에우클레이데스 · 기하학 원론 §6.prop.15

한 각이 같은 삼각형의 등적성과 변의 역비례

316개 구절 중 94번째 · 그리스어

요약

한 각이 서로 같은 두 삼각형에서, 면적이 같다는 것과 같은 각을 품은 변들이 역비례한다는 것이 동치임을 증명한다.

§6.prop.15τῶν ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας·
서로 같고 한 각이 다른 한 각과 같은 삼각형들에서, 같은 각들을 품은 변들은 역비례한다.
καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.
그리고 한 각이 다른 한 각과 같은 삼각형들 중 같은 각들을 품은 변들이 역비례하는 것들은 서로 같다.
ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΑΔΕ μίαν μιᾷ ἴσην ἔχοντα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΕ·
서로 같은 삼각형들 ABΓ, AΔE가 한 각이 다른 한 각과 같되, 각 BAΓ가 각 ΔAE와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ. κείσθω γὰρ ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΓΑ τῇ ΑΔ·
나는 삼각형들 ABΓ, AΔE에서 같은 각들을 품은 변들이 역비례한다고 말한다. 즉, ΓA가 AΔ에 대하여 가지는 비는 EA가 AB에 대하여 가지는 비와 같다. 왜냐하면 ΓA가 AΔ와 일직선 위에 있도록 놓이게 하라.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ, ἄλλο δέ τι τὸ ΒΑΔ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον.
그러므로 EA도 AB와 일직선 위에 있다. 그리고 BΔ가 이어지게 하라. 그러므로 삼각형 ABΓ가 삼각형 AΔE와 같고, 다른 어떤 삼각형 BAΔ가 있으므로, 삼각형 ΓAB가 삼각형 BAΔ에 대하여 가지는 비는 삼각형 EAΔ가 삼각형 BAΔ에 대하여 가지는 비와 같다.
ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΑΒ πρὸς τὸ ΒΑΔ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, ὡς δὲ τὸ ΕΑΔ πρὸς τὸ ΒΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ. τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.
그런데 ΓAB가 BAΔ에 대하여 가지는 비는 ΓA가 AΔ에 대하여 가지는 비와 같고, EAΔ가 BAΔ에 대하여 가지는 비는 EA가 AB에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 ΓA가 AΔ에 대하여 가지는 비도 EA가 AB에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 삼각형들 ABΓ, AΔE에서 같은 각들을 품은 변들은 역비례한다.
ἀλλὰ δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγώνων, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ·
하지만 이번에는 삼각형들 ABΓ, AΔE의 변들이 역비례하여, ΓA가 AΔ에 대하여 가지는 비가 EA가 AB에 대하여 가지는 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ.
나는 삼각형 ABΓ가 삼각형 AΔE와 같다고 말한다.
Ἐπιζευχθείσης γὰρ πάλιν τῆς ΒΔ, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡς δὲ ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον.
왜냐하면 다시 BΔ가 이어졌을 때, ΓA가 AΔ에 대하여 가지는 비는 EA가 AB에 대하여 가지는 비와 같고, 그런데 ΓA가 AΔ에 대하여 가지는 비는 삼각형 ABΓ가 삼각형 BAΔ에 대하여 가지는 비와 같으며, EA가 AB에 대하여 가지는 비는 삼각형 EAΔ가 삼각형 BAΔ에 대하여 가지는 비와 같으므로, 삼각형 ABΓ가 삼각형 BAΔ에 대하여 가지는 비도 삼각형 EAΔ가 삼각형 BAΔ에 대하여 가지는 비와 같다.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΓ, ΕΑΔ πρὸς τὸ ΒΑΔ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.
그러므로 ABΓ, EAΔ 각각은 BAΔ에 대하여 같은 비를 가진다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τῷ ΕΑΔ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABΓ는 삼각형 EAΔ와 같다.
τῶν ἄρα ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας·
그러므로 서로 같고 한 각이 다른 한 각과 같은 삼각형들에서, 같은 각들을 품은 변들은 역비례한다.
καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν·
그리고 한 각이 다른 한 각과 같은 삼각형들 중 같은 각들을 품은 변들이 역비례하는 것들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여주고자 했던 것이다.

어휘·문법 주석

  1. §6.prop.15ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων — 관계대명사 ὧν 선행사 τριγώνων, 동격을 이루며 관계절 내로 흡수되어, "같은 각들을 품은 변들이 역비례하는(ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ...)"이라는 관계절의 범위를 한정한다. 분사구인 μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν은 τριγώνων, 수식한다.
  2. §6.prop.15τὴν ΓΑ τῇ ΑΔ — 부정사 εἶναι의 대격 주어인 τὴν ΓΑΒ 대하여, τῇ ΑΔ는 여격으로서 '~와 (일직선 위에 있다)'라는 결합 또는 기준의 대상을 나타낸다.
  3. §6.prop.15ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΓ, ΕΑΔ πρὸς τὸ ΒΑΔ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον — 대명사 ἑκάτερον(각각)은 중성 단수 주격 주어로서 단수 동사 ἔχει를 지배하며, 복수 속격구인 τῶν ΑΒΓ, ΕΑΔ(ABC와 EAD의)는 그 '각각'이 가리키는 전체 범위를 한정한다.

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