§6.prop.1τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα, τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις.
同じ高さの下にある三角形および平行四辺形は、互いにそれらの底辺と同じ比である。
ἔστω τρίγωνα μὲν τὰ ΑΒΓ, ΑΓΔ, παραλληλόγραμμα δὲ τὰ ΕΓ, ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τὸ ΑΓ·
三角形 ABC, ACD, および同じ高さ AC の下にある平行四辺形 EC, CF があるとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, καὶ τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον.
私は言う、底辺 BC が底辺 CD に対する比は、三角形 ABC が三角形 ACD に対する比と同じであり、また平行四辺形 EC が平行四辺形 CF に対する比と同じである、と。
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Θ, Λ σημεῖα, καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΒΓ βάσει ἴσαι αἱ ΒΗ, ΗΘ, τῇ δὲ ΓΔ βάσει ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΔΚ, ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΑΘ, ΑΚ, ΑΛ.
καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΓΒ, ΒΗ, ΗΘ ἀλλήλαις, ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΑΘΗ, ΑΗΒ, ΑΒΓ τρίγωνα ἀλλήλοις.
なぜなら、直線 BD が両方の方向に点 H, L まで延長されるとせよ。 そして、底辺 BC に等しい任意の数の線分 BG, GH が置かれ、底辺 CD に等しい任意の数の線分 DK, KL が置かれるとせよ。 そして、AG, AH, AK, AL が結ばれるとせよ。 そして、CB, BG, GH は互いに等しいので、三角形 AHG, AGB, ABC もまた互いに等しい。
ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΒΓ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
したがって、底辺 HC が底辺 BC の何倍であっても、三角形 AHC もまた三角形 ABC の同じ倍数である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΛΓ βάσις τῆς ΓΔ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΛΓ τρίγωνον τοῦ ΑΓΔ τριγώνου·
まったく同じ理由で、底辺 LC が底辺 CD の何倍であっても、三角形 ALC もまた三角形 ACD の同じ倍数である。
καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσις τῇ ΓΛ βάσει, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΛ τριγώνῳ, καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΓΛ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΓΛ τριγώνου, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἔλασσον.
そして、もし底辺 HC が底辺 CL に等しければ、三角形 AHC もまた三角形 ACL に等しく、もし底辺 HC が底辺 CL より大きければ、三角形 AHC も三角形 ACL より大きく、もし小さければ、小さい。
τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν δύο μὲν βάσεων τῶν ΒΓ, ΓΔ, δύο δὲ τριγώνων τῶν ΑΒΓ, ΑΓΔ εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν ΒΓ βάσεως καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἥ τε ΘΓ βάσις καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον, τῆς δὲ ΓΔ βάσεως καὶ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια ἥ τε ΛΓ βάσις καὶ τὸ ΑΛΓ τρίγωνον·
したがって、4つの大きさ、すなわち2つの底辺 BC, CD と2つの三角形 ABC, ACD があるとき、底辺 BC と三角形 ABC の同倍の倍量として底辺 HC と三角形 AHC が取られ、底辺 CD と三角形 ADC の他の任意の同倍の倍量として底辺 LC と三角形 ALC が取られた。
καὶ δέδεικται, ὅτι, εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΓΛ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΛΓ τριγώνου, καὶ εἰ ἴση, ἴσον, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἔλασσον·
そして、底辺 HC が底辺 CL より大きければ、三角形 AHC もまた三角形 ALC より大きく、等しければ等しく、小さければ小さいということが示された。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον.
したがって、底辺 BC が底辺 CD に対する比は、三角形 ABC が三角形 ACD に対する比と同じである。
καὶ ἐπεὶ τοῦ μὲν ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ ΑΓΔ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον.
そして、三角形 ABC の2倍が平行四辺形 EC であり、三角形 ACD の2倍が平行四辺形 FC であるから、そして、部分（である三角形）は、同じように倍にした倍量（である平行四辺形）と同じ比を持つので、したがって、三角形 ABC が三角形 ACD に対する比は、平行四辺形 EC が平行四辺形 FC に対する比と同じである。
ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡς μὲν ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, ὡς δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον.
それゆえ、底辺 BC が CD に対する比は、三角形 ABC が三角形 ACD に対する比と同じであり、また三角形 ABC が三角形 ACD に対する比は、平行四辺形 EC が平行四辺形 CF に対する比と同じである、ということが示されたので、したがって、底辺 BC が底辺 CD に対する比もまた、平行四辺形 EC が平行四辺形 FC に対する比と同じである。
τὰ ἄρα τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις·
したがって、同じ高さの下にある三角形および平行四辺形は、互いにそれらの底辺と同じ比である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。