§6.prop.2ἐὰν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς·
もし三角形の辺の1つに平行に何らかの直線が引かれるならば、それはその三角形の辺を比例的に分割するであろう。
καὶ ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου πλευράν.
また、もしその三角形の辺が比例的に分割されるならば、それらの分割点を結ぶ直線は、残りの三角形の辺に平行である。
τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ παράλληλος μιᾷ τῶν πλευρῶν τῇ ΒΓ ἤχθω ἡ ΔΕ·
なぜなら、三角形ABCの辺の1つであるBCに平行にDEが引かれたとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΔ.
ἴσον ἄρα ἐστὶ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ·
私は言う、 BDがDAに対する比は、CEがEAに対する比と同じである、と。 BE, CDが結ばれるとせよ。 したがって、三角形BDEは三角形CDEに等しい。
ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ΔΕ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΔΕ, ΒΓ·
なぜなら、それらは同じ底辺DEの上にあり、同じ平行線DE, BCの間にあるからである。
ἄλλο δέ τι τὸ ΑΔΕ τρίγωνον.
また、三角形ADEは他の何か（の大きさ）である。
τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
そして、等しい（大きさ）は同じ（大きさ）に対して同じ比を持つ。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ, οὕτως τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον.
したがって、三角形BDEが三角形ADEに対する比は、三角形CDEが三角形ADEに対する比と同じである。
ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ·
しかし、三角形BDEがADEに対する比は、BDが DAに対する比と同じである。
ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα τὴν ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετον ἀγομένην πρὸς ἄλληλά εἰσιν ὡς αἱ βάσεις.
なぜなら、同じ高さ（EからABに下ろされた垂線）の下にあるので、互いにそれらの底辺と同じ比だからである。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὡς τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ·
同じ理由で、三角形CDEがADEに対する比は、CEがEAに対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ.
ἀλλὰ δὴ αἱ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΑΓ ἀνάλογον τετμήσθωσαν, ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ·
したがって、BDがDAに対する比もまた、CEがEAに対する比と同じである。 しかし今度は、三角形ABCの辺AB, ACが比例的に分割されているとせよ。 すなわち、BDがDAに対する比は、CEがEAに対する比と同じである。 そしてDEが結ばれるとせよ。
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, ὡς δὲ ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον.
私は言う、DEはBCに平行である、と。 なぜなら、同じ作図をしたとき、 BDがDAに対する比は、CEがEAに対する比と同じであり、またBDがDAに対する比は、三角形BDEが三角形ADEに対する比と同じであり、CEがEAに対する比は、三角形CDEが三角形ADEに対する比と同じであるから、したがって、三角形BDEが三角形ADEに対する比もまた、三角形CDEが三角形ADEに対する比と同じである。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΔΕ, ΓΔΕ τριγώνων πρὸς τὸ ΑΔΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.
したがって、2つの三角形BDE, CDEのそれぞれは、ADEに対して同じ比を持つ。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ·
したがって、三角形BDEは三角形CDEに等しい。
καί εἰσιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΔΕ. τὰ δὲ ἴσα τρίγωνα καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
そして、それらは同じ底辺DEの上にある。 同じ底辺の上にある等しい三角形は、同じ平行線の間にある。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ.
ἐὰν ἄρα τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς·
したがって、DEはBCに平行である。 したがって、もし三角形の辺の1つに平行に何らかの直線が引かれるならば、それはその三角形の辺を比例的に分割する。
καὶ ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου πλευράν·
また、もしその三角形の辺が比例的に分割されるならば、それらの分割点を結ぶ直線は、残りの三角形の辺に平行である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。