§6.prop.1τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα, τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις.
같은 높이 아래에 있는 삼각형들과 평행사변형들은 서로에 대하여 그 밑변들의 비와 같다.
ἔστω τρίγωνα μὲν τὰ ΑΒΓ, ΑΓΔ, παραλληλόγραμμα δὲ τὰ ΕΓ, ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τὸ ΑΓ·
삼각형 ABC, ACD가 있고, 같은 높이 AC 아래에 평행사변형 EC, CF가 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, καὶ τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον.
나는 밑변 BC가 밑변 CD에 대하여 가지는 비가 삼각형 ABC가 삼각형 ACD에 대하여 가지는 비와 같고, 평행사변형 EC가 평행사변형 CF에 대하여 가지는 비와 같다고 주장한다.
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Θ, Λ σημεῖα, καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΒΓ βάσει ἴσαι αἱ ΒΗ, ΗΘ, τῇ δὲ ΓΔ βάσει ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΔΚ, ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΑΘ, ΑΚ, ΑΛ.
καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΓΒ, ΒΗ, ΗΘ ἀλλήλαις, ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΑΘΗ, ΑΗΒ, ΑΒΓ τρίγωνα ἀλλήλοις.
왜냐하면 직선 BD가 양쪽 방향으로 점 H, L까지 연장되었다고 하고, 밑변 BC와 같은 임의의 개수의 선분 BG, GH를 놓고, 밑변 CD와 같은 임의의 개수의 선분 DK, KL을 놓고, AG, AH, AK, AL을 이었다고 하자. 그리고 CB, BG, GH가 서로 같으므로, 삼각형 AHG, AGB, ABC도 서로 같다.
ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΒΓ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
그러므로 밑변 HC가 밑변 BC의 몇 배이든 간에, 삼각형 AHC도 삼각형 ABC의 바로 그 배수가 된다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΛΓ βάσις τῆς ΓΔ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΛΓ τρίγωνον τοῦ ΑΓΔ τριγώνου·
같은 이유로 밑변 LC가 밑변 CD의 몇 배이든 간에, 삼각형 ALC도 삼각형 ACD의 바로 그 배수가 된다.
καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσις τῇ ΓΛ βάσει, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΛ τριγώνῳ, καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΓΛ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΓΛ τριγώνου, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἔλασσον.
그리고 만약 밑변 HC가 밑변 CL과 같으면, 삼각형 AHC도 삼각형 ACL과 같고, 만약 밑변 HC가 밑변 CL보다 크면, 삼각형 AHC도 삼각형 ACL보다 크고, 작으면 작다.
τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν δύο μὲν βάσεων τῶν ΒΓ, ΓΔ, δύο δὲ τριγώνων τῶν ΑΒΓ, ΑΓΔ εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν ΒΓ βάσεως καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἥ τε ΘΓ βάσις καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον, τῆς δὲ ΓΔ βάσεως καὶ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια ἥ τε ΛΓ βάσις καὶ τὸ ΑΛΓ τρίγωνον·
그리하여 네 개의 크기, 즉 두 밑변 BC, CD와 두 삼각형 ABC, ACD가 있을 때, 밑변 BC와 삼각형 ABC에 대해서는 똑같이 배수된 배량으로 밑변 HC와 삼각형 AHC가 취해졌고, 밑변 CD와 삼각형 ADC에 대해서는 임의로 똑같이 배수된 다른 배량으로 밑변 LC와 삼각형 ALC가 취해졌다.
καὶ δέδεικται, ὅτι, εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΓΛ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΛΓ τριγώνου, καὶ εἰ ἴση, ἴσον, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἔλασσον·
그리고 밑변 HC가 밑변 CL보다 크면 삼각형 AHC도 삼각형 ALC보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작다는 것이 증명되었다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον.
그러므로 밑변 BC가 밑변 CD에 대하여 가지는 비는 삼각형 ABC가 삼각형 ACD에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ ἐπεὶ τοῦ μὲν ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ ΑΓΔ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον.
그리고 삼각형 ABC의 두 배가 평행사변형 EC이고, 삼각형 ACD의 두 배가 평행사변형 FC이며, 부분들은 똑같이 배수된 배량들과 같은 비를 가지므로, 삼각형 ABC가 삼각형 ACD에 대하여 가지는 비는 평행사변형 EC가 평행사변형 FC에 대하여 가지는 비와 같다.
ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡς μὲν ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, ὡς δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον.
그러므로 밑변 BC가 CD에 대하여 가지는 비가 삼각형 ABC가 삼각형 ACD에 대하여 가지는 비와 같고, 삼각형 ABC가 삼각형 ACD에 대하여 가지는 비가 평행사변형 EC가 평행사변형 CF에 대하여 가지는 비와 같음이 증명되었으므로, 밑변 BC가 밑변 CD에 대하여 가지는 비도 평행사변형 EC가 평행사변형 FC에 대하여 가지는 비와 같다.
τὰ ἄρα τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις·
그러므로 같은 높이 아래에 있는 삼각형들과 평행사변형들은 서로에 대하여 그 밑변들의 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.