§5.prop.9τὰ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
同じものに対して同じ比を持つものは、互いに等しい。
καὶ πρὸς ἃ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν.
また、同じものがそれらに対して同じ比を持つところの、それらのものは等しい。
ἐχέτω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον·
なぜなら、A, B の各々が Γ に対して同じ比を持つとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
εἰ γὰρ μή, οὐκ ἂν ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον·
私は言う、A は B に等しいと。
ἔχει δέ·
なぜなら、もしそうでなければ、A, B の各々が Γ に対して同じ比を持つことはなかったであろう。 しかし持っている。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν λόγον·
したがって A は B に等しい。 次に、再び Γ が A, B の各々に対して同じ比を持つとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
εἰ γὰρ μή, οὐκ ἂν τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον·
私は言う、A は B に等しいと。 なぜなら、もしそうでなければ、Γ が A, B の各々に対して同じ比を持つことはなかったであろう。
ἔχει δέ·
しかし持っている。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
τὰ ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
したがって A は B に等しい。 したがって、同じものに対して同じ比を持つものは互いに等しい。
καὶ πρὸς ἃ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν·
また、同じものがそれらに対して同じ比を持つところの、それらのものは等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§5.prop.10τῶν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστιν·
同じものに対して比を持つもののうち、より大きい比を持つものは、それ自身がより大きい。
πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν.
また、同じものがそれに対してより大きい比を持つところの、それはより小さい。
ἐχέτω γὰρ τὸ Α πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Β πρὸς τὸ Γ·
なぜなら、A の Γ に対する比は B の Γ に対する比よりも大きいとせよ。
λέγω, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β.
εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β ἢ ἔλασσον.
私は言う、A は B より大きいと。 なぜなら、もしそうでなければ、A は B に等しいか、または小さいかである。
ἴσον μὲν οὖν οὔκ ἐστι τὸ Α τῷ Β·
さて、A は B に等しくはない。
ἑκάτερον γὰρ ἂν τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον.
なぜなら、もし等しければ、A, B の各々が Γ に対して同じ比を持っていたであろうからである。
οὐκ ἔχει δέ·
しかし持っていない。
οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. οὐδὲ μὴν ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β·
したがって A は B に等しくはない。 また、A は B より小さくもない。
τὸ Α γὰρ ἂν πρὸς τὸ Γ ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ τὸ Β πρὸς τὸ Γ. οὐκ ἔχει δέ·
なぜなら、もし小さければ、A の Γ に対する比は B の Γ に対する比よりも小さかったであろうからである。 しかし持っていない。
οὐκ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β. ἐδείχθη δὲ οὐδὲ ἴσον·
したがって A は B より小さくはない。 そして、等しくもないことが示された。
μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τοῦ Β.
ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Α·
したがって A は B より大きい。 次に、再び Γ の B に対する比は Γ の A に対する比よりも大きいとせよ。
λέγω, ὅτι ἔλασσόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α.
εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ μεῖζον.
私は言う、B は A より小さいと。 なぜなら、もしそうでなければ、等しいか、または大きいかである。
ἴσον μὲν οὖν οὔκ ἐστι τὸ Β τῷ Α·
さて、B は A に等しくはない。
τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον.
なぜなら、もし等しければ、Γ が A, B の各々に対して同じ比を持っていたであろうからである。
οὐκ ἔχει δέ·
しかし持っていない。
οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. οὐδὲ μὴν μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α·
したがって A は B に等しくはない。 また、B は A より大きくもない。
τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸς τὸ Β ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ πρὸς τὸ Α. οὐκ ἔχει δέ·
なぜなら、もし大きければ、Γ は B に対して、A に対するよりも小さい比を持っていたであろうからである。 しかし持っていない。
οὐκ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴσον·
したがって B は A より大きくはない。 そして、等しくもないことが示された。
ἔλαττον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τοῦ Α.
τῶν ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν·
したがって B は A より小さい。 したがって、同じものに対して比を持つもののうち、より大きい比を持つものは、より大きい。
καὶ πρὸς ὃ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν·
また、同じものがそれに対してより大きい比を持つところの、それはより小さい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。