§5.prop.8τῶν ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον.
不等な大きさのうち、大きい方は同じものに対して、小さい方が持っているよりも大きい比を持つ。
καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὸ ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον.
また、同じものは、小さい方に対して、大きい方に対して持っているよりも大きい比を持つ。
ἔστω ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τὸ ΑΒ, ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Δ·
不等な大きさ AB, Γ があり、AB が大きい方とし、他の任意の大きさを Δ とせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ, κείσθω τῷ Γ ἴσον τὸ ΒΕ·
私は言う、AB の Δ に対する比は Γ の Δ に対する比よりも大きく、また Δ の Γ に対する比は AB に対する比よりも大きいと。 なぜなら、AB は Γ より大きいので、Γ に等しい BE が置かれたとせよ。
τὸ δὴ ἔλασσον τῶν ΑΕ, ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον.
すると、AE, EB のうちの小さい方は、倍数にしていけばいつかは Δ より大きくなるであろう。
ἔστω πρότερον τὸ ΑΕ ἔλαττον τοῦ ΕΒ, καὶ πεπολλαπλασιάσθω τὸ ΑΕ, καὶ ἔστω αὐτοῦ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ δ, καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΗΘ τοῦ ΕΒ τὸ δὲ Κ τοῦ Γ·
まず AE が EB より小さいとせよ。 そして AE が倍数にされたとし、その倍数 ZH は Δ より大きいとせよ。 そして ZH が AE の何倍であるかに応じて、HΘ は EB の、K は Γ の同じ倍数となるようにせよ。
καὶ εἰλήφθω τοῦ Δ διπλάσιον μὲν τὸ Λ, τριπλάσιον δὲ τὸ Μ, καὶ ἑξῆς ἑνὶ πλεῖον, ἕως ἂν τὸ λαμβανόμενον πολλαπλάσιον μὲν γένηται τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ Κ. εἰλήφθω, καὶ ἔστω τὸ Ν τετραπλάσιον μὲν τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ Κ.
ἐπεὶ οὖν τὸ Κ τοῦ Ν πρώτως ἐστὶν ἔλαττον, τὸ Κ ἄρα τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον.
そして Δ の2倍の Λ、 3倍の M、そして順次に1つずつ多いものが取られ、取られた倍数が Δ の倍数でありながら、初めて K より大きくなるまで（続けられよ）。 それが取られたとし、N が Δ の4倍であり、初めて K より大きいものとせよ。 さて、K は N より初めて小さいので、したがって K は M より小さくはない。
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ. ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ·
そして、ZH は AE の、HΘ は EB の同じ倍数であるから、したがって ZH は AE の、ZΘ は AB の同じ倍数である。 しかし ZH は AE の、K は Γ の同じ倍数である。
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ. τὰ ΖΘ, Κ ἄρα τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια.
したがって ZΘ は AB の、K は Γ の同じ倍数である。 ゆえに ZΘ, K は AB, Γ の同じ倍数である。
πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ, ἴσον δὲ τὸ ΕΒ τῷ Γ, ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τῷ Κ·
再び、HΘ は EB の、K は Γ の同じ倍数であり、EB は Γ に等しいので、したがって HΘ も K に等しい。
τὸ δὲ Κ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον·
しかし K は M より小さくはない。
οὐδʼ ἄρα τὸ ΗΘ τοῦ μ ἔλαττόν ἐστιν.
したがって HΘ も M より小さくはない。
μεῖζον δὲ τὸ ΖΗ τοῦ Δ·
しかし ZH は Δ より大きい。
ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ συναμφοτέρων τῶν Δ, Μ μεῖζόν ἐστιν.
したがって、全体 ZΘ は Δ, M の両方を合わせたものより大きい。
ἀλλὰ συναμφότερα τὰ Δ, Μ τῷ Ν ἐστιν ἴσα, ἐπειδήπερ τὸ Μ τοῦ Δ τριπλάσιόν ἐστιν, συναμφότερα δὲ τὰ Μ, Δ τοῦ Δ ἐστι τετραπλάσια, ἔστι δὲ καὶ τὸ Ν τοῦ Δ τετραπλάσιον·
しかし、Δ, M の両方を合わせたものは N に等しい。 なぜなら、M は Δ の3倍であり、M, Δ の両方を合わせたものは Δ の4倍であり、N も Δ の4倍だからである。
συναμφότερα ἄρα τὰ Μ, Δ τῷ Ν ἴσα ἐστίν.
したがって M, Δ の両方を合わせたものは N に等しい。
ἀλλὰ τὸ ΖΘ τῶν Μ, Δ μεῖζόν ἐστιν·
しかし ZΘ は M, Δ より大きい。
τὸ ΖΘ ἄρα τοῦ Ν ὑπερέχει·
したがって ZΘ は N を超える。
τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει.
しかし K は N を超えない。
καί ἐστι τὰ μὲν ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ν τοῦ Δ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον·
そして ZΘ, K は AB, Γ の同じ倍数であり、N は Δ の他の任意の倍数である。
τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ.
λέγω δή, ὅτι καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι τὸ μὲν Ν τοῦ Κ ὑπερέχει, τὸ δὲ Ν τοῦ ΖΘ οὐχ ὑπερέχει.
したがって AB の Δ に対する比は、 Γ の Δ に対する比よりも大きい。 次に私は言う、Δ の Γ に対する比も、Δ の AB に対する比よりも大きいと。 なぜなら、同じものを準備すれば、同様に、N は K を超えるが、N は ZΘ を超えないことを示すことができる。
καί ἐστι τὸ μὲν Ν τοῦ Δ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
そして N は Δ の倍数であり、ZΘ, K は AB, Γ の他の任意の同じ倍数である。
τὸ Δ ἄρα πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ.
ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΕ τοῦ ΕΒ μεῖζον ἔστω.
したがって Δ の Γ に対する比は、Δ の AB に対する比よりも大きい。 しかし今度は、AE が EB より大きいとせよ。
τὸ δὴ ἔλαττον τὸ ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον.
すると小さい方の EB は、倍数にしていけばいつかは Δ より大きくなるであろう。
πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΗΘ πολλαπλάσιον μὲν τοῦ ΕΒ, μεῖζον δὲ τοῦ Δ·
それが倍数にされたとし、HΘ は EB の倍数であり、かつ Δ より大きいとせよ。
καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΖΗ τοῦ ΑΕ, τὸ δὲ Κ τοῦ Γ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι τὰ ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια·
そして HΘ が EB の何倍であるかに応じて、ZH は AE の、K は Γ の同じ倍数になるようにせよ。 同様に、ZΘ, K は AB, Γ の同じ倍数であることを示すことができる。
καὶ εἰλήφθω ὁμοίως τὸ Ν πολλαπλάσιον μὲν τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ ΖΗ·
そして同様に、N を Δ の倍数でありながら、初めて ZH より大きいものとして取れ。
ὥστε πάλιν τὸ ΖΗ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλασσον.
その結果、再び ZH は M より小さくはない。
μεῖζον δὲ τὸ ΗΘ τοῦ Δ·
しかし HΘ は Δ より大きい。
ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ τῶν Δ, Μ, τουτέστι τοῦ Ν, ὑπερέχει.
したがって、全体 ZΘ は Δ, M の両方、すなわち N を超える。
τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει, ἐπειδήπερ καὶ τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ ΗΘ, τουτέστι τοῦ Κ, τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει.
しかし K は N を超えない。 なぜなら、ZH は HΘ、すなわち K より大きいのであるが、N を超えないからである。
καὶ ὡσαύτως κατακολουθοῦντες τοῖς ἐπάνω περαίνομεν τὴν ἀπόδειξιν.
そして、上記と同様の手順に従うことで、証明を完了することができる。
τῶν ἄρα ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον·
したがって、不等な大きさのうち、大きい方は同じものに対して、小さい方が持っているよりも大きい比を持つ。
καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὸ ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον·
また、同じものは、小さい方に対して、大きい方に対して持っているよりも大きい比を持つ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。