§5.prop.11οἱ τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί.
同じ比と同じである比は、互いに対しても同じである。
ἔστωσαν γὰρ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ·
なぜなら、A の B に対する比は Γ の Δ に対する比に等しく、Γ の Δ に対する比は E の Z に対する比に等しいとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ, καὶ εἰ ἴσον ἐστίν, ἴσον, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει.
私は言う、A の B に対する比は E の Z に対する比に等しいと。 なぜなら、A, Γ, E の等倍数 H, Θ, K を取り、B, Δ, Z の他の任意にとった等倍数 Λ, M, N を取れ。 そして、A の B に対する比は Γ の Δ に対する比に等しく、A, Γ の等倍数 H, Θ が取られ、B, Δ の他の任意にとった等倍数 Λ, M が取られているので、もし H が Λ より大きければ Θ も M より大きく、等しければ等しく、小さければ小さい。
πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Θ, Κ, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
再び、Γ の Δ に対する比は E の Z に対する比に等しく、Γ, E の等倍数 Θ, K が取られ、Δ, Z の他の任意にとった等倍数 M, N が取られているので、もし Θ が M より大きければ K も N より大きく、等しければ等しく、小さければ小さい。
ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερεῖχε καὶ τὸ Η τοῦ Λ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον·
しかし、もし Θ が M より大きかったならば、H も Λ より大きかったであろうし、もし等しければ等しく、小さければ小さかった。
ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
したがって、もし H が Λ より大きければ K も N より大きく、等しければ等しく、小さければ小さい。
καί ἐστι τὰ μὲν Η, Κ τῶν Α, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Λ, Ν τῶν Β, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
そして H, K は A, E の等倍数であり、Λ, N は B, Z の他の任意にとった等倍数である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.
οἱ ἄρα τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί·
したがって、A の B に対する比は E の Z に対する比に等しい。 したがって、同じ比と同じである比は、互いに対しても同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§5.prop.12ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον, ἔσται ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.
もし幾つでも任意の数の大きさが比例しているならば、前件の1つの後件の1つに対する比は、すべての前件の和のすべての後件の和に対する比に等しいであろう。
ἔστωσαν ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ε, Ζ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ·
幾つでも任意の数の比例している大きさ A, B, Γ, Δ, E, Z があり、A の B に対する比は Γ の Δ に対する比および E の Z に対する比に等しいとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὰ Α, Γ, Ε πρὸς τὰ Β, Δ, Ζ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ, καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
私は言う、A の B に対する比は、A, Γ, E の和の B, Δ, Z の和に対する比に等しいと。 なぜなら、A, Γ, E の等倍数 H, Θ, K を取り、B, Δ, Z の他の任意にとった等倍数 Λ, M, N を取れ。 そして、A の B に対する比は Γ の Δ に対する比および E の Z に対する比に等しく、A, Γ, E の等倍数 H, Θ, K が取られ、B, Δ, Z の他の任意にとった等倍数 Λ, M, N が取られているので、もし H が Λ より大きければ、Θ も M より大きく、K も N より大きく、等しければ等しく、小さければ小さい。
ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὰ Η, Θ, Κ τῶν Λ, Μ, Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσα, καὶ εἰ ἔλαττον, ἐλάττονα.
したがって、もし H が Λ より大きければ、H, Θ, K の和も Λ, M, N の和より大きく、等しければ等しく、小さければ小さい。
καί ἐστι τὸ μὲν Η καὶ τὰ Η, Θ, Κ τοῦ Α καὶ τῶν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, ἐπειδήπερ ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων.
そして、H および H, Θ, K の和は、A および A, Γ, E の和の等倍数である。 なぜなら、もし幾つでも任意の数の大きさが、それらと同数の大きさの、それぞれ個々に等倍数であるならば、その大きさの1つの1つに対する倍数と同じだけ、すべての和もすべての和の倍数になるからである。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ Λ καὶ τὰ Λ, Μ, Ν τοῦ Β καὶ τῶν β, Δ, Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια·
同じ理由によって、Λ および Λ, M, N の和も、B および B, Δ, Z の和の等倍数である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὰ Α, Γ, Ε πρὸς τὰ Β, Δ, Ζ.
ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον, ἔσται ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα·
したがって、A の B に対する比は、A, Γ, E の和の B, Δ, Z の和に対する比に等しい。 したがって、もし幾つでも任意の数の大きさが比例しているならば、前件の1つの後件の1つに対する比は、すべての前件の和のすべての後件の和に対する比に等しいであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。