§5.prop.9τὰ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
같은 크기에 대하여 같은 비를 가지는 크기들은 서로 같다.
καὶ πρὸς ἃ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν.
그리고 같은 크기가 그것들에 대하여 같은 비를 가지는 그것들도 같다.
ἐχέτω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον·
왜냐하면 A, B 각각이 Γ에 대하여 같은 비를 가진다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
εἰ γὰρ μή, οὐκ ἂν ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον·
나는 A가 B와 같다고 말한다.
ἔχει δέ·
왜냐하면 만일 그렇지 않다면, A, B 각각이 Γ에 대하여 같은 비를 가지지 않았을 것이다. 그러나 가지고 있다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν λόγον·
그러므로 A는 B와 같다. 이제 다시 Γ가 A, B 각각에 대하여 같은 비를 가진다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
εἰ γὰρ μή, οὐκ ἂν τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον·
나는 A가 B와 같다고 말한다.
ἔχει δέ·
왜냐하면 만일 그렇지 않다면, Γ가 A, B 각각에 대하여 같은 비를 가지지 않았을 것이다. 그러나 가지고 있다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
τὰ ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
그러므로 A는 B와 같다.
καὶ πρὸς ἃ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν·
그러므로 같은 크기에 대하여 같은 비를 가지는 크기들은 서로 같다. 그리고 같은 크기가 그것들에 대하여 같은 비를 가지는 그것들도 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§5.prop.10τῶν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστιν·
같은 크기에 대하여 비를 가지는 것들 중에서, 더 큰 비를 가지는 그것이 더 크다.
πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν.
그리고 같은 크기가 그것에 대하여 더 큰 비를 가지는 그것은 더 작다.
ἐχέτω γὰρ τὸ Α πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Β πρὸς τὸ Γ·
왜냐하면 A가 Γ에 대하여 가지는 비가 B가 Γ에 대하여 가지는 비보다 더 크다고 하자.
λέγω, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β.
εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β ἢ ἔλασσον.
나는 A가 B보다 더 크다고 말한다.
ἴσον μὲν οὖν οὔκ ἐστι τὸ Α τῷ Β·
왜냐하면 만일 그렇지 않다면, A는 B와 같거나 더 작다. 우선 A는 B와 같지 않다.
ἑκάτερον γὰρ ἂν τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον.
왜냐하면 만일 같다면 A, B 각각이 Γ에 대하여 같은 비를 가졌을 것이기 때문이다.
οὐκ ἔχει δέ·
그러나 그렇지 않다.
οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. οὐδὲ μὴν ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β·
그러므로 A는 B와 같지 않다. 또한 A는 B보다 작지도 않다.
τὸ Α γὰρ ἂν πρὸς τὸ Γ ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ τὸ Β πρὸς τὸ Γ. οὐκ ἔχει δέ·
왜냐하면 만일 작다면 A가 Γ에 대하여 가지는 비가 B가 Γ에 대하여 가지는 비보다 더 작았을 것이기 때문이다. 그러나 그렇지 않다.
οὐκ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β. ἐδείχθη δὲ οὐδὲ ἴσον·
그러므로 A는 B보다 작지 않다. 그리고 같지도 않음이 증명되었다.
μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τοῦ Β.
ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Α·
그러므로 A는 B보다 크다. 이제 다시 Γ가 B에 대하여 가지는 비가 Γ가 A에 대하여 가지는 비보다 더 크다고 하자.
λέγω, ὅτι ἔλασσόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α.
εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ μεῖζον.
나는 B가 A보다 더 작다고 말한다. 왜냐하면 만일 그렇지 않다면, 같거나 더 크다.
ἴσον μὲν οὖν οὔκ ἐστι τὸ Β τῷ Α·
우선 B는 A와 같지 않다.
τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον.
왜냐하면 만일 같다면 Γ가 A, B 각각에 대하여 같은 비를 가졌을 것이기 때문이다.
οὐκ ἔχει δέ·
그러나 그렇지 않다.
οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. οὐδὲ μὴν μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α·
그러므로 A는 B와 같지 않다. 또한 B는 A보다 크지도 않다.
τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸς τὸ Β ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ πρὸς τὸ Α. οὐκ ἔχει δέ·
왜냐하면 만일 크다면 Γ는 B에 대하여 A에 대하여보다 더 작은 비를 가졌을 것이기 때문이다. 그러나 그렇지 않다.
οὐκ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴσον·
그러므로 B는 A보다 크지 않다. 그리고 같지도 않음이 증명되었다.
ἔλαττον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τοῦ Α.
τῶν ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν·
그러므로 B는 A보다 작다. 그러므로 같은 크기에 대하여 비를 가지는 것들 중에서, 더 큰 비를 가지는 것이 더 크고, 같은 크기가 그것에 대하여 더 큰 비를 가지는 그것은 더 작다.
καὶ πρὸς ὃ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.