§5.prop.8τῶν ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον.
서로 같지 않은 크기들에 있어서, 더 큰 크기는 같은 크기에 대하여 더 작은 크기가 가지는 비보다 더 큰 비를 가진다.
καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὸ ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον.
그리고 같은 크기도 더 작은 크기에 대하여 더 큰 크기에 대하여 가지는 비보다 더 큰 비를 가진다.
ἔστω ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τὸ ΑΒ, ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Δ·
서로 같지 않은 크기 AB, Γ가 있고, AB가 더 크며, Δ가 다른 임의의 크기라고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ, κείσθω τῷ Γ ἴσον τὸ ΒΕ·
나는 AB가 Δ에 대하여 가지는 비가 Γ가 Δ에 대하여 가지는 비보다 더 크고, Δ가 Γ에 대하여 가지는 비가 AB에 대하여 가지는 비보다 더 크다고 말한다. 왜냐하면 AB가 Γ보다 크므로, Γ와 같은 BE를 놓자.
τὸ δὴ ἔλασσον τῶν ΑΕ, ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον.
그러면 AE, EB 중 더 작은 크기는 배수가 될 때 언젠가는 Δ보다 더 커질 것이다.
ἔστω πρότερον τὸ ΑΕ ἔλαττον τοῦ ΕΒ, καὶ πεπολλαπλασιάσθω τὸ ΑΕ, καὶ ἔστω αὐτοῦ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ δ, καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΗΘ τοῦ ΕΒ τὸ δὲ Κ τοῦ Γ·
먼저 AE가 EB보다 작다고 하자. 그리고 AE가 배수가 되었다 하고, 그 배수 ZH가 Δ보다 더 크다고 하자. 그리고 ZH가 AE의 몇 배인가에 따라, HΘ도 EB의 그만큼의 배수가 되게 하고 K도 Γ의 그만큼의 배수가 되게 하자.
καὶ εἰλήφθω τοῦ Δ διπλάσιον μὲν τὸ Λ, τριπλάσιον δὲ τὸ Μ, καὶ ἑξῆς ἑνὶ πλεῖον, ἕως ἂν τὸ λαμβανόμενον πολλαπλάσιον μὲν γένηται τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ Κ. εἰλήφθω, καὶ ἔστω τὸ Ν τετραπλάσιον μὲν τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ Κ.
ἐπεὶ οὖν τὸ Κ τοῦ Ν πρώτως ἐστὶν ἔλαττον, τὸ Κ ἄρα τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον.
그리고 Δ의 두 배인 Λ, 세 배인 M, 그리고 차례로 하나씩 더 많은 배수를 취하여, 취해진 배수가 Δ의 배수이면서 처음으로 K보다 더 크게 될 때까지 하자. 그것을 취하고, N이 Δ의 네 배이면서 처음으로 K보다 더 크다고 하자. ¦25 그러므로 K가 처음으로 N보다 작으므로, 그러므로 K는 M보다 작지 않다.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ. ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ·
그리고 ZH가 AE의 동배수이고 HΘ가 EB의 동배수이므로, 그러므로 ZH가 AE의 동배수이듯이 ZΘ도 AB의 동배수이다. 그러나 ZH는 AE의 동배수이고 K는 Γ의 동배수이다. 그러므로 ZΘ가 AB의 동배수이듯이 K도 Γ의 동배수이다.
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ. τὰ ΖΘ, Κ ἄρα τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια.
그러므로 ZΘ, K는 AB, Γ의 동배수이다.
πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ, ἴσον δὲ τὸ ΕΒ τῷ Γ, ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τῷ Κ·
다시, HΘ가 EB의 동배수이고 K가 Γ의 동배수이며, EB가 Γ와 같으므로, 그러므로 HΘ도 K와 같다.
τὸ δὲ Κ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον·
그러나 K는 M보다 작지 않다.
οὐδʼ ἄρα τὸ ΗΘ τοῦ μ ἔλαττόν ἐστιν.
그러므로 HΘ도 M보다 작지 않다.
μεῖζον δὲ τὸ ΖΗ τοῦ Δ·
그러나 ZH는 Δ보다 크다.
ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ συναμφοτέρων τῶν Δ, Μ μεῖζόν ἐστιν.
그러므로 전체 ZΘ는 Δ, M 둘을 합한 것보다 더 크다.
ἀλλὰ συναμφότερα τὰ Δ, Μ τῷ Ν ἐστιν ἴσα, ἐπειδήπερ τὸ Μ τοῦ Δ τριπλάσιόν ἐστιν, συναμφότερα δὲ τὰ Μ, Δ τοῦ Δ ἐστι τετραπλάσια, ἔστι δὲ καὶ τὸ Ν τοῦ Δ τετραπλάσιον·
그러나 Δ, M 둘을 합한 것은 N과 같다. 왜냐하면 M은 Δ의 세 배이고, M, Δ 둘을 합한 것은 Δ의 네 배이며, N도 Δ의 네 배이기 때문이다.
συναμφότερα ἄρα τὰ Μ, Δ τῷ Ν ἴσα ἐστίν.
그러므로 M, Δ 둘을 합한 것은 N과 같다.
ἀλλὰ τὸ ΖΘ τῶν Μ, Δ μεῖζόν ἐστιν·
그러나 ZΘ는 M, Δ보다 더 크다.
τὸ ΖΘ ἄρα τοῦ Ν ὑπερέχει·
그러므로 ZΘ는 N을 초과한다.
τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει.
그러나 K는 N을 초과하지 않는다.
καί ἐστι τὰ μὲν ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ν τοῦ Δ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον·
그리고 ZΘ, K는 AB, Γ의 동배수이고, N은 Δ의 다른 임의의 배수이다.
τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ.
λέγω δή, ὅτι καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι τὸ μὲν Ν τοῦ Κ ὑπερέχει, τὸ δὲ Ν τοῦ ΖΘ οὐχ ὑπερέχει.
그러므로 AB가 Δ에 대하여 가지는 비는 Γ가 Δ에 대하여 가지는 비보다 더 크다. 나는 이제 Δ가 Γ에 대하여 가지는 비도 Δ가 AB에 대하여 가지는 비보다 더 크다고 말한다. 왜냐하면 같은 설정을 하면 마찬가지로 N은 K를 초과하지만, N은 ZΘ를 초과하지 않음을 보일 수 있다.
καί ἐστι τὸ μὲν Ν τοῦ Δ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
그리고 N은 Δ의 배수이고 ZΘ, K는 AB, Γ의 다른 임의의 동배수이므로, 그러므로 Δ가 Γ에 대하여 가지는 비는 Δ가 AB에 대하여 가지는 비보다 더 크다.
τὸ Δ ἄρα πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ.
ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΕ τοῦ ΕΒ μεῖζον ἔστω.
그러나 이제 AE가 EB보다 크다고 하자.
τὸ δὴ ἔλαττον τὸ ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον.
그러면 더 작은 크기인 EB는 배수가 될 때 언젠가는 Δ보다 더 커질 것이다.
πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΗΘ πολλαπλάσιον μὲν τοῦ ΕΒ, μεῖζον δὲ τοῦ Δ·
그것이 배수가 되었다 하고, HΘ는 EB의 배수이면서 Δ보다 더 크다고 하자.
καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΖΗ τοῦ ΑΕ, τὸ δὲ Κ τοῦ Γ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι τὰ ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια·
그리고 HΘ가 EB의 몇 배인가에 따라, ZH도 AE의 그만큼의 배수가 되게 하고 K도 Γ의 그만큼의 배수가 되게 하자. 마찬가지로 우리는 ZΘ, K가 AB, Γ의 동배수임을 보일 것이다.
καὶ εἰλήφθω ὁμοίως τὸ Ν πολλαπλάσιον μὲν τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ ΖΗ·
그리고 마찬가지로 N을 Δ의 배수이면서 처음으로 ZH보다 더 크게 되도록 취하자.
ὥστε πάλιν τὸ ΖΗ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλασσον.
그리하여 다시 ZH는 M보다 작지 않게 된다.
μεῖζον δὲ τὸ ΗΘ τοῦ Δ·
그러나 HΘ는 Δ보다 크다.
ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ τῶν Δ, Μ, τουτέστι τοῦ Ν, ὑπερέχει.
그러므로 전체 ZΘ는 Δ, M 둘, 즉 N을 초과한다.
τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει, ἐπειδήπερ καὶ τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ ΗΘ, τουτέστι τοῦ Κ, τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει.
그러나 K는 N을 초과하지 않는데, 왜냐하면 ZH가 HΘ, 즉 K보다 더 큼에도 불구하고 N을 초과하지 않기 때문이다.
καὶ ὡσαύτως κατακολουθοῦντες τοῖς ἐπάνω περαίνομεν τὴν ἀπόδειξιν.
그리고 위와 마찬가지로 따름으로써 우리는 증명을 끝마친다.
τῶν ἄρα ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον·
그러므로 서로 같지 않은 크기들에 있어서, 더 큰 크기는 같은 크기에 대하여 더 작은 크기가 가지는 비보다 더 큰 비를 가진다.
καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὸ ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον·
그리고 같은 크기도 더 작은 크기에 대하여 더 큰 크기에 대하여 가지는 비보다 더 큰 비를 가진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.