§5.prop.1ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων.
もし、任意の個数の量が、それらと個数の等しい他の任意の個数の量に対し、それぞれがそれぞれに対して同じ倍数であるならば、その量のうちの一つが他のものの一つに対する倍数と同じ倍数に、それらすべての和もまた他のすべての和に対してなるであろう。
ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ ὁποσωνοῦν μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον· λέγω, ὅτι ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΓΔ ἴσα τῷ Ζ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Ε μεγέθη ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΒ, τὸ δὲ ΓΔ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΓΘ, ΘΔ·
任意の個数の量 AB, ΓΔ が、それらと個数の等しい他の任意の個数の量 E, Z に対し、それぞれがそれぞれに対して同じ倍数であるとせよ。私は言う、AB が E の何倍であるかと同じ倍数に、 AB, ΓΔ もまた E, Z の倍数となるであろう。なぜなら、AB が E の、また ΓΔ が Z の同じ倍数であるので、AB の中にある E に等しい量の個数は、ΓΔ の中にある Z に等しい個数と同じである。 それゆえ、AB を E に等しい量 AH, HB に、ΓΔ を Z に等しい量 ΓΘ, ΘΔ に分割せよ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΓΘ, ΘΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, ἴσον ἄρα τὸ ΑΗ τῷ Ε, καὶ τὰ ΑΗ, ΓΘ τοῖς Ε, Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τῷ ε, καὶ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖς Ε, Ζ·
すると、AH, HB の個数は ΓΘ, ΘΔ の個数と等しくなる。 そして AH は E に等しく、ΓΘ は Z に等しいので、AH, ΓΘ の和は E, Z の和に等しい。 同じ理由で、HB は E に等しく、HB, ΘΔ の和は E, Z の和に等しい。
ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ ἴσα τοῖς Ε, Ζ·
それゆえ、AB の中に E に等しいものがいくつあるかと同じ個数だけ、AB, ΓΔ の中に E, Z に等しいものがある。
ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ.
ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων·
したがって、AB が E の何倍であるかと同じ倍数に、AB, ΓΔ もまた E, Z の倍数となるであろう。 したがって、もし、任意の個数の量が、それらと個数の等しい他の任意の個数の量に対し、それぞれがそれぞれに対して同じ倍数であるならば、その量のうちの一つが他のものの一つに対する倍数と同じ倍数に、それらすべての和もまた他のすべての和に対してなるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§5.prop.2ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου.
もし第一が第二の同じ倍数であり、かつ第三が第四の同じ倍数であり、さらに第五が第二の同じ倍数であり、かつ第六が第四の同じ倍数であるならば、第一と第五を合わせたものは第二の同じ倍数となり、かつ第三と第六を合わせたものは第四の同じ倍数となるであろう。
πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ τετάρτου τοῦ Ζ, ἔστω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ τετάρτου τοῦ Ζ·
なぜなら、第一の AB が第二の Γ の同じ倍数であり、かつ第三の ΔΕ が第四の Z の同じ倍数であるとし、さらに第五の BH が第二の Γ の同じ倍数であり、かつ第六の EΘ が第四の Z の同じ倍数であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ ΒΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΕΘ ἴσα τῷ Ζ·
私は言う、第一と第五を合わせた AH も第二の Γ の同じ倍数となり、第三と第六を合わせた ΔΘ も傷三の Z の同じ倍数となるであろう。 なぜなら、AB が Γ の、また ΔΕ が Z の同じ倍数であるので、AB の中にある Γ に等しいものの個数は、ΔΕ の中にある Z に等しいものの個数と同じである。 同じ理由で、 BH の中にある Γ に等しいものの個数は、EΘ の中にある Z に等しいものの個数と同じである。
ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν ὅλῳ τῷ ΑΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν ὅλῳ τῷ ΔΘ ἴσα τῷ Ζ·
それゆえ、全体 AH の中にある Γ に等しいものの個数は、全体 ΔΘ の中にある Z に等しいものの個数と同じである。
ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗ τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΔΘ τοῦ Ζ. καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου·
したがって、AH が Γ の何倍であるかと同じ倍数に、ΔΘ もまた Z の倍数となるであろう。 それゆえ、第一と第五を合わせた AH は第二の Γ の同じ倍数となり、第三と第六を合わせた ΔΘ は第四の Z の同じ倍数となるであろう。 したがって、もし第一が第二の同じ倍数であり、かつ第三が第四の同じ倍数であり、さらに第五が第二の同じ倍数であり、かつ第六が第四の同じ倍数であるならば、第一と第五を合わせたものは第二の同じ倍数となり、かつ第三と第六を合わせたものは第四の同じ倍数となるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。