§5.prop.11οἱ τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί.
같은 비와 같은 비들은 서로도 같다.
ἔστωσαν γὰρ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ·
왜냐하면 A의 B에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같고, Γ의 Δ에 대한 비는 E의 Z에 대한 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ, καὶ εἰ ἴσον ἐστίν, ἴσον, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει.
나는 A의 B에 대한 비가 E의 Z에 대한 비와 같다고 말한다. 왜냐하면 A, Γ, E의 같은 배수들인 H, Θ, K를 취하고, B, Δ, Z의 임의로 택한 다른 같은 배수들인 Λ, M, N을 취하자. 그리고 A의 B에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같고, A, Γ의 같은 배수들인 H, Θ가 취해졌으며, B, Δ의 임의로 택한 다른 같은 배수들인 Λ, M이 취해졌으므로, 만일 H가 Λ보다 크다면 Θ도 M보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작다.
πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Θ, Κ, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
다시, Γ의 Δ에 대한 비는 E의 Z에 대한 비와 같고, Γ, E의 같은 배수들인 Θ, K가 취해졌으며, Δ, Z의 임의로 택한 다른 같은 배수들인 M, N이 취해졌으므로, 만일 Θ가 M보다 크다면 K도 N보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작다.
ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερεῖχε καὶ τὸ Η τοῦ Λ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον·
그런데 만일 Θ가 M보다 컸다면 H도 Λ보다 컸을 것이고, 만일 같았다면 같았을 것이고, 작았다면 작았을 것이다.
ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
그러므로 만일 H가 Λ보다 크다면 K도 N보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작다.
καί ἐστι τὰ μὲν Η, Κ τῶν Α, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Λ, Ν τῶν Β, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
그리고 H, K는 A, E의 같은 배수들이고, Λ, N은 B, Z의 임의로 택한 다른 같은 배수들이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.
οἱ ἄρα τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί·
그러므로 A의 B에 대한 비는 E의 Z에 대한 비와 같다. 그러므로 같은 비와 같은 비들은 서로도 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§5.prop.12ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον, ἔσται ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.
만일 임의의 개수의 크기들이 비례한다면, 전건들 중 하나가 후건들 중 하나에 대하여 가지는 비는 모든 전건들의 합이 모든 후건들의 합에 대하여 가지는 비와 같을 것이다.
ἔστωσαν ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ε, Ζ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ·
임의의 개수의 비례하는 크기들인 A, B, Γ, Δ, E, Z가 있고, A의 B에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같고, 또 E의 Z에 대한 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὰ Α, Γ, Ε πρὸς τὰ Β, Δ, Ζ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ, καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
나는 A의 B에 대한 비가 A, Γ, E의 합이 B, Δ, Z의 합에 대하여 가지는 비와 같다고 말한다. 왜냐하면 A, Γ, E의 같은 배수들인 H, Θ, K를 취하고, B, Δ, Z의 임의로 택한 다른 같은 배수들인 Λ, M, N을 취하자. 그리고 A의 B에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비 및 E의 Z에 대한 비와 같고, A, Γ, E의 같은 배수들인 H, Θ, K가 취해졌으며, B, Δ, Z의 임의로 택한 다른 같은 배수들인 Λ, M, N이 취해졌으므로, 만일 H가 Λ보다 크다면 Θ도 M보다 크고, K도 N보다 크며, 같으면 같고, 작으면 작다.
ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὰ Η, Θ, Κ τῶν Λ, Μ, Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσα, καὶ εἰ ἔλαττον, ἐλάττονα.
그러므로 만일 H가 Λ보다 크다면 H, Θ, K의 합도 Λ, M, N의 합보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작다.
καί ἐστι τὸ μὲν Η καὶ τὰ Η, Θ, Κ τοῦ Α καὶ τῶν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, ἐπειδήπερ ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων.
그리고 H 및 H, Θ, K의 합은 A 및 A, Γ, E의 합의 같은 배수이다. 왜냐하면 만일 임의의 개수의 크기들이 개수가 같은 임의의 개수의 크기들에 대하여 각각 개별적으로 같은 배수라면, 그 크기들 중 하나가 하나에 대하여 몇 배인 것과 마찬가지로 모든 것들의 합도 모든 것들의 합에 대하여 그만큼의 배수이기 때문이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ Λ καὶ τὰ Λ, Μ, Ν τοῦ Β καὶ τῶν β, Δ, Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια·
같은 이유로 Λ 및 Λ, M, N의 합도 B 및 B, Δ, Z의 합의 같은 배수이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὰ Α, Γ, Ε πρὸς τὰ Β, Δ, Ζ.
ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον, ἔσται ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα·
그러므로 A의 B에 대한 비는 A, Γ, E의 합이 B, Δ, Z의 합에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 만일 임의의 개수의 크기들이 비례한다면, 전건들 중 하나가 후건들 중 하나에 대하여 가지는 비는 모든 전건들의 합이 모든 후건들의 합에 대하여 가지는 비와 같을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.