§5.prop.1ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων.
만약 임의의 개수의 크기들이 개수가 같은 다른 임의의 개수의 크기들에 대하여 각각 동배수이면, 그 크기들 중 하나가 다른 것 중 하나에 대하는 배수와 같은 배수로 전체의 합도 다른 전체의 합에 대하여 될 것이다.
ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ ὁποσωνοῦν μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον·
임의의 개수의 크기들 AB, ΓΔ가 그것들과 개수가 같은 다른 임의의 개수의 크기들 E, Z에 대하여 각각 동배수라고 하자.
λέγω, ὅτι ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΓΔ ἴσα τῷ Ζ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Ε μεγέθη ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΒ, τὸ δὲ ΓΔ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΓΘ, ΘΔ·
나는 AB가 E의 몇 배인가와 같은 배수로 AB, ΓΔ도 E, Z의 배수가 될 것이라고 말한다. 왜냐하면 AB가 E의 동배수이고 ΓΔ가 Z의 동배수이므로, AB 안에 있는 E와 같은 크기들의 개수는 ΓΔ 안에 있는 Z와 같은 크기들의 개수와 같다. 그러므로 AB를 E와 같은 크기들인 AH, HB로 분할하고, ΓΔ를 Z와 같은 크기들인 ΓΘ, ΘΔ로 분할하자.
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΓΘ, ΘΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, ἴσον ἄρα τὸ ΑΗ τῷ Ε, καὶ τὰ ΑΗ, ΓΘ τοῖς Ε, Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τῷ ε, καὶ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖς Ε, Ζ·
그러면 AH, HB의 개수는 ΓΘ, ΘΔ의 개수와 같을 것이다. 그리고 AH는 E와 같고 ΓΘ는 Z와 같으므로, AH, ΓΘ의 합은 E, Z의 합과 같다. 같은 이유로 HB는 E와 같고 HB, ΘΔ의 합은 E, Z의 합과 같다.
ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ ἴσα τοῖς Ε, Ζ·
그러므로 AB 안에 E와 같은 것이 몇 개 있는가와 같은 개수만큼 AB, ΓΔ 안에도 E, Z의 합과 같은 것이 있다.
ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ.
ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων·
따라서 AB가 E의 몇 배인가와 같은 배수로 AB, ΓΔ도 E, Z의 배수가 될 것이다. 그러므로 만약 임의의 개수의 크기들이 개수가 같은 다른 임의의 개수의 크기들에 대하여 각각 동배수이면, 그 크기들 중 하나가 다른 것 중 하나에 대하는 배수와 같은 배수로 전체의 합도 다른 전체의 합에 대하여 될 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§5.prop.2ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου.
만약 첫 번째가 두 번째의 동배수이고 세 번째가 네 번째의 동배수이며, 다섯 번째도 두 번째의 동배수이고 여섯 번째가 네 번째의 동배수이면, 첫 번째와 다섯 번째를 합한 것도 두 번째의 동배수가 될 것이고, 세 번째와 여섯 번째를 합한 것도 네 번째의 동배수가 될 것이다.
πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ τετάρτου τοῦ Ζ, ἔστω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ τετάρτου τοῦ Ζ·
왜냐하면 첫 번째인 AB가 두 번째인 Γ의 동배수이고 세 번째인 ΔΕ가 네 번째인 Z의 동배수라 하고, 다섯 번째인 BH도 두 번째인 Γ의 동배수이고 여섯 번째인 EΘ도 네 번째인 Z의 동배수라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ ΒΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΕΘ ἴσα τῷ Ζ·
나는 첫 번째와 다섯 번째를 합한 AH도 두 번째인 Γ의 동배수가 될 것이고, 세 번째와 여섯 번째를 합한 ΔΘ도 네 번째인 Z의 동배수가 될 것이라고 말한다. 왜냐하면 AB가 Γ의 동배수이고 ΔΕ가 Z의 동배수이므로, AB 안에 있는 Γ와 같은 것의 개수는 ΔΕ 안에 있는 Z와 같은 것의 개수와 같다. 같은 이유로, BH 안에 있는 Γ와 같은 것의 개수는 EΘ 안에 있는 Z와 같은 것의 개수와 같다.
ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν ὅλῳ τῷ ΑΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν ὅλῳ τῷ ΔΘ ἴσα τῷ Ζ·
그러므로 전체 AH 안에 있는 Γ와 같은 것의 개수는 전체 ΔΘ 안에 있는 Z와 같은 것의 개수와 같다.
ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗ τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΔΘ τοῦ Ζ. καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου·
따라서 AH가 Γ의 몇 배인가와 같은 배수로 ΔΘ도 Z의 배수가 될 것이다. 그러므로 첫 번째와 다섯 번째를 합한 AH는 두 번째인 Γ의 동배수가 될 것이고, 세 번째와 여섯 번째를 합한 ΔΘ는 네 번째인 Z의 동배수가 될 것이다. 그러므로 만약 첫 번째가 두 번째의 동배수이고 세 번째가 네 번째의 동배수이며, 다섯 번째도 두 번째의 동배수이고 여섯 번째가 네 번째의 동배수이면, 첫 번째와 다섯 번째를 합한 것도 두 번째의 동배수가 될 것이고, 세 번째와 여섯 번째를 합한 것도 네 번째의 동배수가 될 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.