§4.prop.10ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν διπλασίονα τῆς λοιπῆς.
底角のそれぞれが、残りの角の2倍であるような二等辺三角形を作図すること。
Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ·
任意の直線ABが置かれたとせよ。 そして、AB, BΓによって囲まれる長方形が ΓAの上の正方形に等しくなるように、点Γにおいて分けられたとせよ。
καὶ κέντρῳ τῷ Α καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΔΕ, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς τὸν ΒΔΕ κύκλον τῇ ΑΓ εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς τοῦ ΒΔΕ κύκλου διαμέτρου ἴση εὐθεῖα ἡ ΒΔ·
そして、Aを中心とし、ABを半径として、円BΔEが描かれたとせよ。 そして、円BΔEの直径よりも大きくない直線AΓに等しい直線BΔが、円BΔEにあてはめられたとせよ。
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΓΔ.
καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ. καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΔ εἴληπταί τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Β, καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς τὸν ΑΓΔ κύκλον προσπεπτώκασι δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΑ, ΒΔ, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνει, ἡ δὲ προσπίπτει, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἡ ΒΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΓΔ κύκλου.
そして、AΔ, ΔΓが結ばれたとせよ。 そして、三角形AΓΔのまわりに円AΓΔが外接されたとせよ。 そして、AB, BΓによる長方形は AΓの上の正方形に等しく、AΓはBΔに等しいので、したがってAB, BΓによる長方形はBΔの上の正方形に等しい。 そして、円AΓΔの外に一点Bが取られており、Bから円AΓΔに向かって2つの直線BA, BΔが引かれており、それらのうち一方は交わり、他方は達しており、そして AB, BΓによる長方形がBΔの上の正方形に等しいので、したがってBΔは円AΓΔに接する。
ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΔ, ἀπὸ δὲ τῆς κατὰ τὸ Δ ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΔΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΔΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΓΔΑ·
そこで、BΔは接しており、Δにおける接点からΔΓが引かれているので、したがって角BΔΓは、円の交互の弓形の中にある角ΔAΓに等しい。 そこで、角BΔΓは角ΔAΓに等しいので、共通のものとして角ΓΔAが加えられたとせよ。
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ. ἀλλὰ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ ἴση ἐστὶν ἡ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ ΒΓΔ·
したがって、角BΔA全体は、2つの角ΓΔA, ΔAΓの和に等しい。 ところが、2つの角ΓΔA, ΔAΓの和に外角である角BΓΔは等しい。
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ τῇ ὑπὸ ΓΒΔ ἐστιν ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση·
したがって、角BΔAも角BΓΔに等しい。 ところが、辺AΔはABに等しいので、角BΔAは角ΓBΔに等しい。
ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἐστιν ἴση.
それゆえ角ΔBAも角BΓΔに等しい。
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
したがって、3つの角BΔA, ΔBA, BΓΔは互いに等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΔΓ. ἀλλὰ ἡ ΒΔ τῇ ΓΑ ὑπόκειται ἴση·
そして、角ΔBΓは角BΓΔに等しいので、辺BΔも辺ΔΓに等しい。 ところが、BΔはΓAに等しいと仮定されている。
καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστιν ἴση·
したがって、ΓAもΓΔに等しい。
ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση·
それゆえ、角 ΓΔAも角ΔAΓに等しい。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΔΑΓ εἰσι διπλασίους.
したがって、角ΓΔA, ΔAΓは角ΔAΓの2倍である。
ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ·
そして、角BΓΔは角ΓΔA, ΔAΓの和に等しい。
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ.
したがって、角BΓΔも角ΓAΔの2倍である。
ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ·
そして、角BΓΔは2つの角BΔA, ΔBAのそれぞれに等しい。
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ τῆς ὑπὸ ΔΑΒ ἐστι διπλῆ.
したがって、角BΔA, ΔBAのそれぞれも角ΔABの2倍である。
ἰσοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συνέσταται τὸ ΑΒΔ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ ΔΒ βάσει γωνιῶν διπλασίονα τῆς λοιπῆς·
したがって、底辺ΔBにおける角のそれぞれが、残りの角の2倍であるような二等辺三角形ABDが作られた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。