§4.prop.5περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι.
与えられた三角形に外接する円を描くこと。
ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ·
与えられた三角形をΑΒΓとする。
δεῖ 2 περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλον περιγράψαι.
与えられた三角形ΑΒΓに外接する円を描かねばならない。
τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι δίχα κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ ἀπὸ τῶν Δ, Ε σημείων ταῖς ΑΒ, ΑΓ πρὸς ὁρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ΕΖ·
直線ΑΒ、ΑΓを点Δ、Εにおいて二等分し、点Δ、ΕからΑΒ、ΑΓに直角にΔΖ、ΕΖを引く。
συμπεσοῦνται δὴ ἤτοι ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἢ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας ἢ ἐκτὸς τῆς ΒΓ.
συμπιπτέτωσαν πρότερον ἐντὸς κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΑ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση.
これらは、三角形ΑΒΓの内部、あるいは直線ΒΓ上、あるいはΒΓの外部のいずれかで交わる。 まず、内部の点Ζにおいて交わるとし、 ΖΒ、ΖΓ、ΖΑを結ぶ。 そして、ΑΔはΔΒに等しく、ΔΖは共通でかつ直角であるから、底辺ΑΖは底辺ΖΒに等しい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση·
同様にして、ΓΖもΑΖに等しいことを示す。
ὥστε καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση·
したがって、ΖΒもΖΓに等しい。
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
ゆえに、3つの直線ΖΑ、ΖΒ、ΖΓは互いに等しい。
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περιγεγραμμένος ὁ κύκλος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.
したがって、 Ζを中心とし、Α、Β、Γのいずれか一つを半径として描かれる円は、残りの点も通り、その円は三角形ΑΒΓに外接する。
περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓ.
ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας κατὰ τὸ Ζ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον περιγραφομένου κύκλου.
それをΑΒΓとして外接させよう。 しかし今度は、ΔΖ、ΕΖが直線ΒΓ上の点Ζにおいて交わるとしよう（第二の図にあるように）。 そしてΑΖを結ぶ。 同様にして、点Ζが三角形ΑΒΓに外接する円の中心であることを示す。
ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου κατὰ τὸ Ζ πάλιν, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΒΖ, ΓΖ. καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση.
しかし今度は、ΔΖ、ΕΖが再び三角形ΑΒΓの外部の点Ζにおいて交わるとしよう（第三の図にあるように）。 そしてΑΖ、ΒΖ、ΓΖを結ぶ。 そして再び、ΑΔはΔΒに等しく、ΔΖは共通でかつ直角であるから、底辺ΑΖは底辺ΒΖに等しい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση·
同様にして、ΓΖもΑΖに等しいことを示す。
ὥστε καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση·
したがって、 ΒΖもΖΓに等しい。
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.
したがって、Ζを中心とし、ΖΑ、ΖΒ、ΖΓのいずれか一つを半径として描かれる円は、残りの点も通り、三角形ΑΒΓに外接する。
περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τρίγωνον κύκλος περιγέγραπται·
したがって、与えられた三角形に円が外接された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなされるべきことであった。
καὶ φανερόν, ὅτι, ὅτε μὲν ἐντὸς τοῦ τριγώνου πίπτει τὸ κέντρον τοῦ κύκλου, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν μείζονι τμήματι τοῦ ἡμικυκλίου τυγχάνουσα ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς· ὅτε δὲ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας τὸ κέντρον πίπτει, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ τυγχάνουσα ὀρθή ἐστιν· ὅτε δὲ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐκτὸς τοῦ τριγώνου πίπτει, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἐν ἐλάττονι τμήματι τοῦ ἡμικυκλίου τυγχάνουσα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.
そして、円の中心が三角形の内部に落ちるときは、角ΒΑΓは半円より大きい弓形の中にあって直角より小さく、中心が直線ΒΓ上に落ちるときは、角ΒΑΓは半円の中にあって直角であり、円の中心が三角形の外部に落ちるときは、角ΒΑΓは半円より小さい弓形の中にあって直角より大きいことは明らかである。