§4.prop.5περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι.
주어진 삼각형에 외접하는 원을 그리기.
ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ·
주어진 삼각형을 ΑΒΓ라 하자.
δεῖ 2 περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλον περιγράψαι.
주어진 삼각형 ΑΒΓ에 외접하는 원을 그려야 한다.
τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι δίχα κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ ἀπὸ τῶν Δ, Ε σημείων ταῖς ΑΒ, ΑΓ πρὸς ὁρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ΕΖ·
직선 ΑΒ, ΑΓ를 점 Δ, Ε에서 이등분하고, 점 Δ, Ε로부터 ΑΒ, ΑΓ에 수직으로 ΔΖ, ΕΖ를 긋는다.
συμπεσοῦνται δὴ ἤτοι ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἢ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας ἢ ἐκτὸς τῆς ΒΓ.
συμπιπτέτωσαν πρότερον ἐντὸς κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΑ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση.
그러면 이들은 삼각형 ΑΒΓ의 내부, 혹은 직선 ΒΓ 위, 혹은 ΒΓ의 외부 중 어느 한 곳에서 만날 것이다. 먼저 내부의 점 Ζ에서 만난다고 하고, ΖΒ, ΖΓ, ΖΑ를 잇는다. 그리고 ΑΔ는 ΔΒ와 같고, ΔΖ는 공통이면서 수직이므로, 밑변 ΑΖ는 밑변 ΖΒ와 같다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση·
마찬가지로 ΓΖ도 ΑΖ와 같음을 보일 수 있다.
ὥστε καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση·
따라서 ΖΒ도 ΖΓ와 같다.
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
그러므로 세 직선 ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ는 서로 같다.
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περιγεγραμμένος ὁ κύκλος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.
따라서 Ζ를 중심으로 하고, 점 Α, Β, Γ 중 어느 하나까지의 거리를 반지름으로 하여 그려진 원은 남은 점들도 지날 것이며, 그 원은 삼각형 ΑΒΓ에 외접할 것이다.
περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓ.
ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας κατὰ τὸ Ζ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον περιγραφομένου κύκλου.
그것을 ΑΒΓ로 외접시키자. 그러나 이제 ΔΖ, ΕΖ가 직선 ΒΓ 위의 점 Ζ에서 만난다고 하자 (두 번째 그림에 있는 것처럼). 그리고 ΑΖ를 잇는다. 마찬가지로 점 Ζ가 삼각형 ΑΒΓ에 외접하는 원의 중심임을 보일 수 있다.
ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου κατὰ τὸ Ζ πάλιν, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΒΖ, ΓΖ. καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση.
그러나 이제 ΔΖ, ΕΖ가 다시 삼각형 ΑΒΓ의 외부의 점 Ζ에서 만난다고 하자 (세 번째 그림에 있는 것처럼). 그리고 ΑΖ, ΒΖ, ΓΖ를 잇는다. 그러면 다시 ΑΔ는 ΔΒ와 같고, ΔΖ는 공통이면서 수직이므로, 밑변 ΑΖ는 밑변 ΒΖ와 같다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση·
마찬가지로 ΓΖ도 ΑΖ와 같음을 보일 수 있다.
ὥστε καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση·
따라서 ΒΖ도 ΖΓ와 같다.
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.
따라서 Ζ를 중심으로 하고, ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ 중 어느 하나까지의 거리를 반지름으로 하여 그려진 원은 남은 점들도 지날 것이며, 삼각형 ΑΒΓ에 외접할 것이다.
περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τρίγωνον κύκλος περιγέγραπται·
따라서 주어진 삼각형에 원이 외접되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.
καὶ φανερόν, ὅτι, ὅτε μὲν ἐντὸς τοῦ τριγώνου πίπτει τὸ κέντρον τοῦ κύκλου, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν μείζονι τμήματι τοῦ ἡμικυκλίου τυγχάνουσα ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς· ὅτε δὲ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας τὸ κέντρον πίπτει, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ τυγχάνουσα ὀρθή ἐστιν· ὅτε δὲ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐκτὸς τοῦ τριγώνου πίπτει, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἐν ἐλάττονι τμήματι τοῦ ἡμικυκλίου τυγχάνουσα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.
그리고 원의 중심이 삼각형의 내부에 떨어질 때, 각 ΒΑΓ는 반원보다 큰 활꼴 안에 있어서 직각보다 작고, 중심이 직선 ΒΓ 위에 떨어질 때, 각 ΒΑΓ는 반원 안에 있어서 직각이며, 원의 중심이 삼각형의 외부에 떨어질 때, 각 ΒΑΓ는 반원보다 작은 활꼴 안에 있어서 직각보다 크다는 것은 명백하다.