§4.prop.3περὶ τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγράψαι.
与えられた円の外に、与えられた三角形と等角な三角形を外接させること。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΔΕΖ·
与えられた円をABCとし、与えられた三角形をDEFとする。
δεῖ δὴ περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγράψαι.
このとき、円ABCの外に三角形DEFと等角な三角形を外接させなければならない。
Ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΖ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη κατὰ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Κ, καὶ διήχθω, ὡς ἔτυχεν, εὐθεῖα ἡ ΚΒ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΚΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Κ τῇ μὲν ὑπὸ ΔΕΗ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΚΑ, τῇ δὲ ὑπὸ ΔΖΘ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΚΓ, καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ ΑΒΓ κύκλου αἱ ΛΑΜ, ΜΒΝ, ΝΓΛ.
καὶ ἐπεὶ ἐφάπτονται τοῦ ΑΒΓ κύκλου αἱ ΛΜ, ΜΝ, ΝΛ κατὰ τὰ Α, Β, Γ σημεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ Κ κέντρου ἐπὶ τὰ Α, Β, Γ σημεῖα ἐπεζευγμέναι εἰσὶν αἱ ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ, ὀρθαὶ ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς Α, Β, Γ σημείοις γωνίαι.
EFが両方の方向に点G, Hまで延長されたとせよ。 そして円ABCの中心Kが取られ、直線KBが任意に引かれたとせよ。 そして、直線KBおよびその上の点Kにおいて、角DEGに等しい角BKAが作られ、また角DFHに等しい角BKC(B-K-C)が作られたとせよ。 そして点A, B, Cを通って円 ABCの接線LAM, MBN, NCLが引かれたとせよ。 そして、LM, MN, NLが円ABCに点A, B, Cにおいて接しており、中心Kから点A, B, CへKA, KB, KCが結ばれているから、したがって点A, B, Cにおける角は直角である。
καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΜΒΚ τετραπλεύρου αἱ τέσσαρες γωνίαι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἐπειδήπερ καὶ εἰς δύο τρίγωνα διαιρεῖται τὸ ΑΜΒΚ, καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΚΑΜ, ΚΒΜ γωνίαι, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΚΒ, ΑΜΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
そして、四角形AMBKの4つの角は4直角に等しく（なぜならAMBKは2つの三角形に分けられ、また角KAM, KBMは直角であるから）、したがって、残りの角AKB, AMBの和は2直角に等しい。
εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΕΗ, ΔΕΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι·
ところが、角DEG, DEFの和もまた2直角に等しい。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΚΒ, ΑΜΒ ταῖς ὑπὸ ΔΕΗ, ΔΕΖ ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ ΑΚΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΗ ἐστιν ἴση·
したがって、角AKB, AMBの和は角DEG, DEFの和に等しい。 これらのうち角AKBは角DEGに等しい。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση.
したがって、残りの角AMBは残りの角DEFに等しい。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΛΝΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση·
同様にして、角LNBもまた角DFEに等しいことが示されるであろう。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΛΝ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση.
したがって、残りの角MLNも残りの角EDFに等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΝ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ·
したがって、三角形LMNは三角形DEFと等角である。
καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον.
そしてそれは円ABCの外に外接されている。
περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγέγραπται·
したがって、与えられた円の外に、与えられた三角形と等角な三角形が外接された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。
§4.prop.4εἰς τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
与えられた三角形の中に円を内接させること。
ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ·
与えられた三角形をABCとする。
δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
このとき、三角形ABCの中に円を内接させなければならない。
τετμήσθωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαι δίχα ταῖς ΒΔ, ΓΔ εὐθείαις, καὶ συμβαλλέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθείας κάθετοι αἱ ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ, ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΔ ἴση, δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΒΔ, ΖΒΔ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν κοινὴν αὐτῶν τὴν ΒΔ·
角ABC, ACBが直線BD, CDによって二等分されたとせよ。 そしてそれらが点Dにおいて互いに交わったとせよ。 そしてDから直線AB, BC, CAへ垂線DE, DF, DGが引かれたとせよ。 そして、角ABDは角CBDに等しく、また直角BEDは直角BFDに等しいから、2つの三角形EBD, FBDは、2つの角が2つの角にそれぞれ等しく、また1つの辺が1つの辺に等しい（すなわち、それらに共通な辺であって、等しい角の1つの下に対向する辺BDである）。
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν·
したがって、それらは残りの辺も残りの辺にそれぞれ等しく持つであろう。
ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση.
したがってDEはDFに等しい。 同じ理由により、DGもまたDFに等しい。
αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
したがって、3つの直線DE, DF, DGは互いに等しい。
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Η κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε, Ζ, Η σημείοις γωνίας.
したがって、中心をDとし、 E, F, Gのいずれか1つを半径として描かれる円は、残りの点をも通り、また直線AB, BC, CAに接するであろう。 なぜなら点E, F, Gにおける角が直角だからである。
εἰ γὰρ τεμεῖ αὐτάς, ἔσται ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πίπτουσα τοῦ κύκλου· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη·
もしそれがこれらを交わるならば、円の直径に対して端点から直角に引かれた直線が円の内部に落ちることになるが、これは不可能であることが示されている。
οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Δ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Η γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθείας·
したがって、中心をDとし、E, F, Gのいずれか1つを半径として描かれる円は、直線AB, BC, CAと交わらない。
ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν, καὶ ἔσται ὁ κύκλος ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.
したがって、それらに接するであろう。 そして、円は三角形ABCの中に内接されたことになる。
ἐγγεγράφθω ὡς ὁ ΖΗΕ.
εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλος ἐγγέγραπται ὁ ΕΖΗ·
それをFGEとして描かれたとせよ。 したがって、与えられた三角形ABCの中に円EGFが内接された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。