§4.prop.15εἰς τὸν δοθέντα κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
与えられた円に、等辺かつ等角な六角形を内接させること。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕΖ·
与えられた円をABΓΔEZとせよ。
δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕΖ κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
円 ABΓΔEZに、等辺かつ等角な六角形を内接させねばならない。
ἤχθω τοῦ ΑΒΓΔΕΖ κύκλου διάμετρος ἡ ΑΔ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Η, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Δ διαστήματι δὲ τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΗΓΘ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΗ, ΓΗ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Β, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ·
円ABΓΔEZの直径AΔが引かれたとせよ。 そして円の中心Hが取られたとせよ。 そして中心Δ、距離ΔHをもって円EΓHΘが描かれたとせよ。 そして、結ばれたEH, ΓHが点B, Zへと延長されたとせよ。 そしてAB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EZ, ZAが結ばれたとせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ἰσογώνιον.
私は、六角形ABΓΔEZは等辺かつ等角であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔΕΖ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΗΔ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΗΓΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΔΗ. ἀλλʼ ἡ ΗΕ τῇ ΗΔ ἐδείχθη ἴση·
なぜなら、点Hは円ABΓΔEZの中心であるので、HEはHΔに等しい。 再び、点Δは円HΓΘの中心であるので、ΔEはΔHに等しい。 しかしHEはHΔに等しいと示された。
καὶ ἡ ΗΕ ἄρα τῇ ΕΔ ἴση ἐστίν·
したがってHEもEΔに等しい。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗΔ τρίγωνον·
したがって三角形EΔHは等辺である。
καὶ αἱ τρεῖς ἄρα αὐτοῦ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΗΔ, ΗΔΕ, ΔΕΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐπειδήπερ τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
したがってその3つの角EHD, HDE, DEHは互いに等しい。 なぜなら、二等辺三角形の底角は互いに等しいからである。
καί εἰσιν αἱ τρεῖς τοῦ τριγώνου γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι·
そして、三角形の3つの角は2直角に等しい。
ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΗΔ γωνία τρίτον ἐστὶ δύο ὀρθῶν.
したがって角EHDは2直角の3分の1である。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΓ τρίτον δύο ὀρθῶν.
同様にして角ΔHΓも2直角の3分の1であることが示される。
καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΗ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΕΒ σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΗΓ, ΓΗΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΗΒ τρίτον ἐστὶ δύο ὀρθῶν·
そして、直線ΓHが直線EBの上に立って、隣接する角EHΓ, ΓHBを2直角に等しくするので、したがって残りの角ΓHBも2直角の3分の1である。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΔ, ΔΗΓ, ΓΗΒ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
したがって、角EHΔ, ΔHΓ, ΓHBは互いに等しい。
ὥστε καὶ αἱ κατὰ κορυφὴν αὐταῖς αἱ ὑπὸ ΒΗΑ, ΑΗΖ, ΖΗΕ ἴσαι εἰσίν.
それゆえ、それらの対頂角であるBHA, AHZ, ZHEも等しい。
αἱ ἓξ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΗΔ, ΔΗΓ, ΓΗΒ, ΒΗΑ, ΑΗΖ, ΖΗΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
したがって、6つの角EHΔ, ΔHΓ, ΓHB, BHA, AHZ, ZHEは互いに等しい。
αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν·
そして、等しい角は等しい弧の上にある。
αἱ ἓξ ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
したがって、6つの弧AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EZ, ZAは互いに等しい。
ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν·
そして、等しい弧の下には等しい直線が対面する。
αἱ ἓξ ἄρα εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
したがって、6つの直線は互いに等しい。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον.
したがって、六角形ABΓΔEZは等辺である。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον.
さらに、それは等角でもあると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΕΔ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια·
なぜなら、弧ZAは弧EΔに等しいので、共通の弧ABΓΔが加えられたとせよ。
ὅλη ἄρα ἡ ΖΑΒΓΔ ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒΑ ἐστιν ἴση·
したがって、全体の弧ZABΓΔは全体の弧EΔΓBAに等しい。
καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΖΑΒΓΔ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΖΕΔ γωνία, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒΑ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία·
そして弧ZABΓΔの上には角ZEΔが立っており、弧EΔΓBAの上には角AZEが立っている。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι τοῦ ΑΒΓΔΕΖ ἑξαγώνου κατὰ μίαν ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΖΕΔ γωνιῶν·
したがって、角AZEは角ΔEZに等しい。 同様にして、六角形ABΓΔEZの残りの角も、それぞれ角AZE, ZEΔのそれぞれに等しいことが示される。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον.
したがって、六角形ABΓΔEZは等角である。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον·
そして、それは等辺であることも示された。
καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔΕΖ κύκλον.
そして、それは円ABΓΔEZに内接されている。
εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται·
したがって、与えられた円に、等辺かつ等角な六角形が内接された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.
定理の系このことから、六角形の辺は円の半径に等しいことは明らかである。
ὁμοίως δὲ τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου ἐὰν διὰ τῶν κατὰ τὸν κύκλον διαιρέσεων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν, περιγραφήσεται περὶ τὸν κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἀκολούθως τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου εἰρημένοις.
そして五角形の場合と同様に、もし円に沿った分割点を通って円に接する線を引くならば、五角形に関して述べられたことに従って、円の外側に等辺かつ等角な六角形が外接されるであろう。
καὶ ἔτι διὰ τῶν ὁμοίων τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου εἰρημένοις εἰς τὸ δοθὲν ἑξάγωνον κύκλον ἐγγράψομέν τε καὶ περιγράψομεν·
さらに、五角形について述べられたことと同様の方法により、与えられた六角形に円を内接させ、また外接させるであろう。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。
§4.prop.16εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
与えられた円に、等辺かつ等角な十五角形を内接させること。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ·
与えられた円をABΓΔとせよ。
δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
円ABΓΔに、等辺かつ等角な十五角形を内接させねばならない。
ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τριγώνου μὲν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς αὐτὸν ἐγγραφομένου πλευρὰ ἡ ΑΓ, πενταγώνου δὲ ἰσοπλεύρου ἡ ΑΒ·
円ABΓΔに、それに内接される正三角形の辺AΓが内接され、正五角形の辺ABが内接されたとせよ。
οἵων ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἴσων τμημάτων δεκαπέντε, τοιούτων ἡ μὲν ΑΒΓ περιφέρεια τρίτον οὖσα τοῦ κύκλου ἔσται πέντε, ἡ δὲ ΑΒ περιφέρεια πέμπτον οὖσα τοῦ κύκλου ἔσται τριῶν·
したがって、円ABΓΔが等しい15個の部分からなるとすると、そのような部分のうち、円の3分の1である弧ABΓは5つ分であり、円の5分の1である弧ABは3つ分である。
λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ τῶν ἴσων δύο.
したがって、残りの弧BΓはそれらの等しい部分の2つ分である。
τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε·
弧BΓが点Eにおいて二等分されたとせよ。
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΒΕ, ΕΓ περιφερειῶν πεντεκαιδέκατόν ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
したがって、弧BE, EΓのそれぞれは円ABΓΔの15分の1である。
ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξαντες τὰς ΒΕ, ΕΓ ἴσας αὐταῖς κατὰ τὸ συνεχὲς εὐθείας ἐναρμόσωμεν εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ἔσται εἰς αὐτὸν ἐγγεγραμμένον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον·
したがって、もしBE, EΓを結び、それらに等しい直線を円ABΓΔに連続してあてはめるならば、それに等辺かつ等角な十五角形が内接されることになる。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。
ὁμοίως δὲ τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου ἐὰν διὰ τῶν κατὰ τὸν κύκλον διαιρέσεων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν, περιγραφήσεται περὶ τὸν κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον.
そして、五角形の場合と同様に、もし円に沿った分割点を通って円の切線を引きこなすなら、円の外側に等辺かつ等角な十五角形が外接されるであろう。
ἔτι δὲ διὰ τῶν ὁμοίων τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου δείξεων καὶ εἰς τὸ δοθὲν πεντεκαιδεκάγωνον κύκλον ἐγγράψομέν τε καὶ περιγράψομεν·
さらに、五角形におけるのと同様の証明により、与えられた十五角形に円を内接させ、また外接させるであろう。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。