§4.prop.10ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν διπλασίονα τῆς λοιπῆς.
밑각 각각이 남은 각의 두 배인 이등변삼각형을 작도하는 것.
Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ·
임의의 직선 AB가 놓였다고 하자. 그리고 AB, BΓ에 의해 둘러싸인 직사각형이 ΓA 상의 정사각형과 같아지도록, 점 Γ에서 잘렸다고 하자.
καὶ κέντρῳ τῷ Α καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΔΕ, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς τὸν ΒΔΕ κύκλον τῇ ΑΓ εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς τοῦ ΒΔΕ κύκλου διαμέτρου ἴση εὐθεῖα ἡ ΒΔ·
그리고 A를 중심으로 하고 AB를 반지름으로 하여 원 BΔE가 그려졌다고 하자. 그리고 원 BΔE의 지름보다 크지 않은 직선 AΓ와 같은 직선 BΔ가 원 BΔE에 꼭 맞게 들어맞추어졌다고 하자.
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΓΔ.
καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ. καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΔ εἴληπταί τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Β, καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς τὸν ΑΓΔ κύκλον προσπεπτώκασι δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΑ, ΒΔ, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνει, ἡ δὲ προσπίπτει, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἡ ΒΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΓΔ κύκλου.
그리고 AΔ, ΔΓ가 이어졌다고 하자. 그리고 삼각형 AΓΔ 주위에 원 AΓΔ가 외접되었다고 하자. 그리고 AB, BΓ에 의한 직사각형은 ΓA 상의 정사각형과 같고, ΓA는 BΔ와 같으므로, 따라서 AB, BΓ에 의한 직사각형은 BΔ 상의 정사각형과 같다. 그리고 원 AΓΔ 밖에 한 점 B가 취해져 있고, B로부터 원 AΓΔ를 향해 두 직선 BA, BΔ가 떨어졌으며, 그중 하나는 원을 자르고 다른 하나는 원에 도달하는데, AB, BΓ에 의한 직사각형이 BΔ 상의 정사각형과 같으므로, 따라서 BΔ는 원 AΓΔ에 접한다.
ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΔ, ἀπὸ δὲ τῆς κατὰ τὸ Δ ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΔΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΔΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΓΔΑ·
그렇다면 BΔ는 접하고, Δ에서의 접점으로부터 ΔΓ가 가로질러 그어졌으므로, 따라서 각 BΔΓ는 원의 엇대체 활꼴 안의 각인 각 ΔAΓ와 같다. 그렇다면 각 BΔΓ는 각 ΔAΓ와 같으므로, 공통의 것으로 각 ΓΔA가 더해졌다고 하자.
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ. ἀλλὰ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ ἴση ἐστὶν ἡ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ ΒΓΔ·
따라서 각 BΔA 전체는 두 각 ΓΔA, ΔAΓ의 합과 같다. 그런데 외각인 각 BΓΔ는 두 각 ΓΔA, ΔAΓ의 합과 같다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ τῇ ὑπὸ ΓΒΔ ἐστιν ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση·
따라서 각 BΔA도 각 BΓΔ와 같다. 그런데 변 AΔ는 AB와 같으므로, 각 BΔA는 각 ΓBΔ와 같다.
ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 ΔBA도 각 BΓΔ와 같다.
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
따라서 세 각 BΔA, ΔBA, BΓΔ는 서로 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΔΓ. ἀλλὰ ἡ ΒΔ τῇ ΓΑ ὑπόκειται ἴση·
그리고 각 ΔBΓ는 각 BΓΔ와 같으므로, 변 BΔ도 변 ΔΓ와 같다. 그런데 BΔ는 ΓA와 같다고 가정되었다.
καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστιν ἴση·
따라서 ΓA도 ΓΔ와 같다.
ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση·
그러므로 각 ΓΔA도 각 ΔAΓ와 같다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΔΑΓ εἰσι διπλασίους.
따라서 두 각 ΓΔA, ΔAΓ의 합은 각 ΔAΓ의 두 배이다.
ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ·
그리고 각 BΓΔ는 두 각 ΓΔA, ΔAΓ의 합과 같다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ.
따라서 각 BΓΔ도 각 ΓAΔ의 두 배이다.
ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ·
그리고 각 BΓΔ는 두 각 BΔA, ΔBA 각각과 같다.
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ τῆς ὑπὸ ΔΑΒ ἐστι διπλῆ.
따라서 두 각 BΔA, ΔBA 각각도 각 ΔAB의 두 배이다.
ἰσοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συνέσταται τὸ ΑΒΔ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ ΔΒ βάσει γωνιῶν διπλασίονα τῆς λοιπῆς·
그러므로 밑변 ΔB에서의 각 각각이 남은 각의 두 배인 이등변삼각형 ABD가 작도되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.