§3.prop.8#1ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί τινες, ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέντρου, αἱ δὲ λοιπαί, ὡς ἔτυχεν, τῶν μὲν πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης.
もし円の外側にある点が取られ、その点から円へいくつかの直線が引かれ、それらのうち一つは中心を通り、残りは任意に引かれるならば、凹の周へ下りる直線のうちでは、中心を通るものが最大であり、その他のうちでは、中心を通るものにより近いものが常に遠いものよりも大きく、凸の周へ下りる直線のうちでは、点と直径の間にあるものが最小であり、その他のうちでは、最小のものにより近いものが常に遠いものよりも小さい。 また、その点から円へ、最小の（直線）の両側において、２つだけ等しい（直線）が下りるであろう。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ διήχθωσαν εὐθεῖαί τινες αἱ ΔΑ, ΔΕ, ΔΖ, ΔΓ, ἔστω δὲ ἡ ΔΑ διὰ τοῦ κέντρου.
円をΑΒΓとし、ΑΒΓの外側にある点Δが取られたとせよ。 そしてそこからいくつかの直線ΔΑ、ΔΕ、ΔΖ、ΔΓが引かれ、ΔΑは中心を通るものとせよ。
λέγω, ὅτι τῶν μὲν πρὸς τὴν ΑΕΖΓ κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΔΑ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΕ τῆς ΔΖ ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΓ, τῶν δὲ πρὸς τὴν ΘΛΚΗ κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ ΔΗ ἡ μεταξὺ τοῦ σημείου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς ΑΗ, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ΔΗ ἐλαχίστης ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἀπώτερον, ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ, ἡ δὲ ΔΛ τῆς ΔΘ.
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Μ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ, ΜΖ, ΜΓ, ΜΚ, ΜΛ, ΜΘ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΕΜ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΜΔ·
私は、凹の周ΑΕΖΓへ下りる直線のうちでは、中心を通るΔΑが最大であり、ΔΕはΔΖより大きく、ΔΖはΔΓより大きく、凸の周ΘΛΚΗへ下りる直線のうちでは、点と直径ΑΗの間にあるΔΗが最小であり、最小のΔΗにより近いものが遠いものよりも常に小さく、すなわちΔΚはΔΛより小さく、ΔΛはΔΘより小さいと主張する。 なぜなら、円ΑΒΓの中心が取られたとせよ、そしてそれをΜとし、ΜΕ、ΜΖ、ΜΓ、ΜΚ、ΜΛ、ΜΘが結ばれたとせよ。 そして、ΑΜはΕΜに等しいから、共通なものとして ΜΔが加えられたとせよ。
ἡ ἄρα ΑΔ ἴση ἐστὶ ταῖς ΕΜ, ΜΔ. ἀλλʼ αἱ ΕΜ, ΜΔ τῆς ΕΔ μείζονές εἰσιν·
したがってΑΔはΕΜ、ΜΔに等しい。 しかし、ΕΜ、ΜΔはΕΔよりも大きい。
καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῆς ΕΔ μείζων ἐστίν.
したがってΑΔもまたΕΔよりも大きい。
πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΕ τῇ ΜΖ, κοινὴ δὲ ἡ ΜΔ, αἱ ΕΜ, ΜΔ ἄρα ταῖς ΖΜ, ΜΔ ἴσαι εἰσίν·
また、ΜΕはΜΖに等しく、ΜΔは共通であるから、したがってΕΜ、ΜΔはΖΜ、ΜΔに等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΜΔ γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΜΔ μείζων ἐστίν.
そして角ΕΜΔは角ΖΜΔよりも大きい。
βάσις ἄρα ἡ ΕΔ βάσεως τῆς ΖΔ μείζων ἐστίν.
したがって底辺ΕΔは底辺ΖΔよりも大きい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΖΔ τῆς ΓΔ μείζων ἐστίν·
同じようにして、ΖΔもまたΓΔよりも大きいことを示すであろう。
μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΑ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΕ τῆς ΔΖ, ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΓ.
καὶ ἐπεὶ αἱ ΜΚ, ΚΔ τῆς ΜΔ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ΜΗ τῇ ΜΚ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΔ λοιπῆς τῆς ΗΔ μείζων ἐστίν·
したがって、ΔΑが最大であり、ΔΕはΔΖより大きく、ΔΖはΔΓより大きい。 また、ΜΚ、ΚΔはΜΔよりも大きく、ＭΗはΜΚに等しいから、したがって残りのΚΔは残りのΗΔよりも大きい。