§3.prop.8#1ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί τινες, ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέντρου, αἱ δὲ λοιπαί, ὡς ἔτυχεν, τῶν μὲν πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης.
만약 원 외부의 어떤 점이 잡히고, 그 점으로부터 원을 향해 어떤 직선들이 그어지는데, 그중 하나는 중심을 지나고 남은 것들은 임의로 그어진다면, 오목한 원둘레를 향해 내린 직선들 중에서는 중심을 지나는 것이 가장 크고, 다른 직선들 중에서는 중심을 지나는 직선에 더 가까운 것이 더 먼 것보다 항상 더 크며, 볼록한 원둘레를 향해 내린 직선들 중에서는 그 점과 지름 사이에 있는 것이 가장 작고, 다른 직선들 중에서는 가장 작은 직선에 더 가까운 것이 더 먼 것보다 항상 더 작다. 또한 그 점으로부터 원을 향해 가장 작은 직선의 양편으로 오직 두 개만 같은 직선이 내려질 것이다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ διήχθωσαν εὐθεῖαί τινες αἱ ΔΑ, ΔΕ, ΔΖ, ΔΓ, ἔστω δὲ ἡ ΔΑ διὰ τοῦ κέντρου.
원을 ΑΒΓ라 하고, ΑΒΓ 외부에 있는 어떤 점 Δ가 잡혔다고 하자. 그리고 그 점으로부터 어떤 직선들 ΔΑ, ΔΕ, ΔΖ, ΔΓ가 그어지고, ΔΑ는 중심을 지나는 것이라 하자.
λέγω, ὅτι τῶν μὲν πρὸς τὴν ΑΕΖΓ κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΔΑ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΕ τῆς ΔΖ ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΓ, τῶν δὲ πρὸς τὴν ΘΛΚΗ κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ ΔΗ ἡ μεταξὺ τοῦ σημείου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς ΑΗ, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ΔΗ ἐλαχίστης ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἀπώτερον, ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ, ἡ δὲ ΔΛ τῆς ΔΘ.
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Μ·
나는 오목한 원둘레 ΑΕΖΓ를 향해 내린 직선들 중에서는 중심을 지나는 ΔΑ가 가장 크고, ΔΕ가 ΔΖ보다 크며, ΔΖ가 ΔΓ보다 크고, 볼록한 원둘레 ΘΛΚΗ를 향해 내린 직선들 중에서는 그 점과 지름 ΑΗ 사이에 있는 ΔΗ가 가장 작으며, 가장 작은 ΔΗ에 더 가까운 것이 더 먼 것보다 항상 더 작아서, ΔΚ가 ΔΛ보다 작고, ΔΛ이 ΔΘ보다 작다고 주장한다. 왜냐하면 원 ΑΒΓ의 중심을 잡고 그것을 Μ이라 하자.
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ, ΜΖ, ΜΓ, ΜΚ, ΜΛ, ΜΘ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΕΜ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΜΔ·
그리고 ΜΕ, ΜΖ, ΜΓ, ΜΚ, ΜΛ, ΜΘ를 연결하라. 그러면 ΑΜ이 ΕΜ과 같으므로, 공통으로 ΜΔ를 더하자.
ἡ ἄρα ΑΔ ἴση ἐστὶ ταῖς ΕΜ, ΜΔ. ἀλλʼ αἱ ΕΜ, ΜΔ τῆς ΕΔ μείζονές εἰσιν·
그러므로 ΑΔ는 ΕΜ, ΜΔ와 같다. 그런데 ΕΜ, ΜΔ는 ΕΔ보다 크다.
καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῆς ΕΔ μείζων ἐστίν.
그러므로 ΑΔ 역시 ΕΔ보다 크다.
πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΕ τῇ ΜΖ, κοινὴ δὲ ἡ ΜΔ, αἱ ΕΜ, ΜΔ ἄρα ταῖς ΖΜ, ΜΔ ἴσαι εἰσίν·
다시, 좋은 예로 ΜΕ가 ΜΖ와 같고 ΜΔ는 공통이므로, 그러므로 ΕΜ, ΜΔ는 전문과 같이 ΖΜ, ΜΔ와 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΜΔ γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΜΔ μείζων ἐστίν.
그리고 각 ΕΜΔ는 각 ΖΜΔ보다 크다.
βάσις ἄρα ἡ ΕΔ βάσεως τῆς ΖΔ μείζων ἐστίν.
그러므로 밑변 ΕΔ는 밑변 ΖΔ보다 크다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΖΔ τῆς ΓΔ μείζων ἐστίν·
같은 방법으로 우리는 ΖΔ 역시 ΓΔ보다 크다는 것을 증명할 것이다.
μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΑ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΕ τῆς ΔΖ, ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΓ.
καὶ ἐπεὶ αἱ ΜΚ, ΚΔ τῆς ΜΔ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ΜΗ τῇ ΜΚ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΔ λοιπῆς τῆς ΗΔ μείζων ἐστίν·
그러므로 ΔΑ가 가장 크고, ΔΕ는 ΔΖ보다 크며, ΔΖ는 ΔΓ보다 크다. 그리고 ΜΚ, ΚΔ가 ΜΔ보다 크고, ΜΗ는 ΜΚ와 같으므로, 그러므로 남은 전문의 법칙에 의해 남은 ΚΔ는 남은 ΗΔ보다 크다.