§3.prop.15ἐν κύκλῳ μεγίστη μὲν ἡ διάμετρος τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν.
円において、直径は最大であり、その他のもののうちでは、常に中心に近いものが遠いものよりも大きい。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἔγγιον μὲν τῆς ΑΔ διαμέτρου ἔστω ἡ ΒΓ, ἀπώτερον δὲ ἡ ΖΗ·
円を ΑΒΓΔ とし、その直径を ΑΔ、中心を Ε とせよ。 そして直径 ΑΔ に近いほうを ΒΓ、遠いほうを ΖΗ とせよ。
λέγω, ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΑΔ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ.
ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου ἐπὶ τὰς ΒΓ, ΖΗ κάθετοι αἱ ΕΘ, ΕΚ. καὶ ἐπεὶ ἔγγιον μὲν τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΒΓ, ἀπώτερον δὲ ἡ ΖΗ, μείζων ἄρα ἡ ΕΚ τῆς ΕΘ. κείσθω τῇ ΕΘ ἴση ἡ ΕΛ, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ ΕΚ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ΛΜ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ, ΕΝ, ΖΕ, ΕΗ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΕΛ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΜΝ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΜ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΝ, ἡ ἄρα ΑΔ ταῖς ΜΕ, ΕΝ ἴση ἐστίν.
私は、ΑΔ は最大であり、ΒΓ は ΖΗ より大きいと主張する。 なぜなら、中心 Ε から ΒΓ, ΖΗ へ垂線 ΕΘ, ΕΚ が引かれたとせよ。 そして、ΒΓ は中心に近いほうであり、ΖΗ は遠いほうであるから、ΕΚ は ΕΘ より大きい。 ΕΘ に等しい ΕΛ が置かれたとし、Λ を通って ΕΚ に直角に引かれた ΛΜ が Ν まで通されたとせよ。 そして ΜΕ, ΕΝ, ΖΕ, ΕΗ が結ばれたとせよ。 そして ΕΘ が ΕΛ に等しいから、ΒΓ も ΜΝ に等しい。 再び、ΑΕ は ΕΜ に等しく、ΕΔ は ΕΝ に等しいから、したがって ΑΔ は ΜΕ, ΕΝ に等しい。
ἀλλʼ αἱ μὲν ΜΕ, ΕΝ τῆς ΜΝ μείζονές εἰσιν [καὶ ἡ ΑΔ τῆς ΜΝ μείζων ἐστίν, ἴση δὲ ἡ ΜΝ τῇ ΒΓ·
しかし、ΜΕ, ΕΝ は ΜΝ より大きい［そして、ΑΔ も ΜΝ より大きく、ΜΝ は ΒΓ に等しい。
ἡ ΑΔ ἄρα τῆς ΒΓ μείζων ἐστίν.
したがって、ΑΔ は ΒΓ より大きい。
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΜΕ, ΕΝ δύο ταῖς ΖΕ, ΕΗ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΕΝ γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΕΗ μείζων, βάσις ἄρα ἡ ΜΝ βάσεως τῆς ΖΗ μείζων ἐστίν.
そして、二つの ΜΕ, ΕΝ は二つの ΖΕ, ΕΗ に等しく、角 ΜΕΝ は角 ΖΕΗ より大きいから、したがって底辺 ΜΝ は底辺 ΖΗ より大きい。
ἀλλὰ ἡ ΜΝ τῇ ΒΓ ἐδείχθη ἴση.
しかし、ΜΝ は ΒΓ に等しいと示された。
μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΑΔ διάμετρος, μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ.
ἐν κύκλῳ ἄρα μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διάμετρος, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν·
したがって、直径 ΑΔ は最大であり、 ΒΓ は ΖΗ より大きい］。 したがって、円において、直径は最大であり、その他のもののうちでは、常に中心に近いものが遠いものよりも大きい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。