§3.prop.15ἐν κύκλῳ μεγίστη μὲν ἡ διάμετρος τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν.
원 안에서 지름이 가장 크고, 다른 직선들 중에서는 중심에 더 가까운 것이 항상 더 먼 것보다 더 크다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἔγγιον μὲν τῆς ΑΔ διαμέτρου ἔστω ἡ ΒΓ, ἀπώτερον δὲ ἡ ΖΗ·
원을 ΑΒΓΔ라 하고, 그것의 지름을 ΑΔ, 중심을 Ε라 하자. 그리고 지름 ΑΔ에 더 가까운 것을 ΒΓ라 하고, 더 먼 것을 ΖΗ라 하자.
λέγω, ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΑΔ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ.
ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου ἐπὶ τὰς ΒΓ, ΖΗ κάθετοι αἱ ΕΘ, ΕΚ. καὶ ἐπεὶ ἔγγιον μὲν τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΒΓ, ἀπώτερον δὲ ἡ ΖΗ, μείζων ἄρα ἡ ΕΚ τῆς ΕΘ. κείσθω τῇ ΕΘ ἴση ἡ ΕΛ, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ ΕΚ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ΛΜ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ, ΕΝ, ΖΕ, ΕΗ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΕΛ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΜΝ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΜ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΝ, ἡ ἄρα ΑΔ ταῖς ΜΕ, ΕΝ ἴση ἐστίν.
나는 ΑΔ가 가장 크고, ΒΓ가 ΖΗ보다 더 크다고 주장한다. 왜냐하면 중심 Ε로부터 ΒΓ, ΖΗ에 수선 ΕΘ, ΕΚ를 긋자. 그리고 ΒΓ가 중심에 더 가깝고, ΖΗ가 더 멀기 때문에, ΕΚ는 ΕΘ보다 더 크다. ΕΘ와 같은 ΕΛ을 잡고, Λ를 지나며 ΕΚ와 수직이 되게 그은 ΛΜ을 Ν까지 연장하자. 그리고 ΜΕ, ΕΝ, ΖΕ, ΕΗ를 연결하자. 그리고 ΕΘ가 ΕΛ과 같으므로, ΒΓ도 ΜΝ과 같다. 다시, ΑΕ가 ΕΜ과 같고, ΕΔ가 ΕΝ과 같으므로, 그러므로 ΑΔ는 ΜΕ, ΕΝ의 합과 같다.
ἀλλʼ αἱ μὲν ΜΕ, ΕΝ τῆς ΜΝ μείζονές εἰσιν [καὶ ἡ ΑΔ τῆς ΜΝ μείζων ἐστίν, ἴση δὲ ἡ ΜΝ τῇ ΒΓ·
그런데 ΜΕ, ΕΝ은 ΜΝ보다 크며, ［ΑΔ도 ΜΝ보다 크고, ΜΝ은 ΒΓ와 같다.
ἡ ΑΔ ἄρα τῆς ΒΓ μείζων ἐστίν.
그러므로 ΑΔ는 ΒΓ보다 크다.
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΜΕ, ΕΝ δύο ταῖς ΖΕ, ΕΗ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΕΝ γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΕΗ μείζων, βάσις ἄρα ἡ ΜΝ βάσεως τῆς ΖΗ μείζων ἐστίν.
그리고 두 직선 ΜΕ, ΕΝ은 두 직선 ΖΕ, ΕΗ와 같고, 각 ΜΕΝ은 각 ΖΕΗ보다 크므로, 그러므로 밑변 ΜΝ은 밑변 ΖΗ보다 크다.
ἀλλὰ ἡ ΜΝ τῇ ΒΓ ἐδείχθη ἴση.
그런데 ΜΝ은 ΒΓ와 같다고 증명되었다.
μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΑΔ διάμετρος, μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ.
ἐν κύκλῳ ἄρα μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διάμετρος, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν·
그러므로 지름 ΑΔ는 가장 크고, 지름 ΒΓ는 ΖΗ보다 크다］. 그러므로 원 안에서 지름이 가장 크고, 다른 직선들 중에서는 중심에 더 가까운 것이 항상 더 먼 것보다 더 크다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.