§2.prop.9ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου.
もし直線が等しい部分と等しくない部分とに分割されるならば、全体の等しくない分割線分から作られる正方形の和は、半分の線分から作られる正方形と、分割点（等分点と不等分点）の間の線分から作られる正方形との和の2倍である。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ·
なぜなら、ある直線ABが、Gにおいて等しく、Dにおいて等しくなく分割されているとする。
λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
私は言う、AD, DBから作られる正方形の和は、AG, GDから作られる正方形の和の2倍であると。
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΕ, καὶ κείσθω ἴση ἑκατέρᾳ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ τῇ ΕΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΖ, διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Γ, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΕΓ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν·
なぜなら、GからABに対して直角にGEが引かれ、それはAG, GBのそれぞれに等しく置かれ、EA, EBが結ばれ、Dを通ってEGに平行にDZが引かれ、Zを通ってABに平行にZHが引かれ、AZが結ばれたとする。 そして、AGはGEに等しいから、角EAGも角AEGに等しい。 また、Gにおける角は直角だから、残りの角EAG, AEGの和は1直角に等しい。
καί εἰσιν ἴσαι·
そしてそれらは互いに等しい。
ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΑ, ΓΑΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς·
したがって、角GEA, GAEのそれぞれは半直角である。 まさに同じ理由で、角GEB, EBGのそれぞれも半直角である。
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ ὀρθή ἐστιν.
したがって、全体の角AEBは直角である。
καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΓΒ·
そして、角HEZは半直角であり、かつ角EHZは直角である（なぜなら、内対角である角EGBに等しいから）。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΖΗ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς·
したがって、残りの角EZHは半直角である。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΗ·
したがって、角HEZは角EZHに等しい。
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση.
よって、辺EHもHZに等しい。
πάλιν ἐπεὶ ἡ πρὸς τῷ β γωνία ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ· ἴση γὰρ πάλιν ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΓΒ·
さらに、Bにおける角は半直角であり、角ZDBは直角である（なぜなら、再び内対角である角EGBに等しいから）。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΖΔ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς·
したがって、残りの角BZDは半直角である。
ἴση ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΒ·
したがって、Bにおける角は角DZBに等しい。
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΖΔ πλευρᾷ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση.
よって、辺ZDも辺DBに等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΓ τῷ ἀπὸ ΓΕ·
そして、AGはGEに等しいから、 AGから作られる正方形もGEから作られる正方形に等しい。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΕ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία·
したがって、AG, GEから作られる正方形の和は、AGから作られる正方形の2倍である。 そして、AG, GEから作られる正方形の和に、EAから作られる正方形は等しい（なぜなら、角AGEが直角だからである）。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ, ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ·
したがって、EAから作られる正方形は、AGから作られる正方形の2倍である。 さらに、EHはHZに等しいから、 EHから作られる正方形もHZから作られる正方形に等しい。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνου.
したがって、EH, HZから作られる正方形の和は、HZから作られる正方形の2倍である。
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ τετραγώνοις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον·
そして、EH, HZから作られる正方形の和に、EZから作られる正方形は等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ. ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ ΓΔ·
したがって、EZから作られる正方形は、HZから作られる正方形の2倍である。 そして、 HZはGDに等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
したがって、EZから作られる正方形は、GDから作られる正方形の2倍である。 また、EAから作られる正方形もAGから作られる正方形の2倍である。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΖ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
したがって、AE, EZから作られる正方形の和は、AG, GDから作られる正方形の和の2倍である。
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία·
そして、AE, EZから作られる正方形の和に、AZから作られる正方形は等しい（なぜなら、角AEZが直角だからである）。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΖ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία·
したがって、AZから作られる正方形は、AG, GDから作られる正方形の和の2倍である。 そして、AZから作られる正方形に、AD, DZから作られる正方形の和は等しい（なぜなら、Dにおける角が直角だからである）。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΖ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
したがって、AD, DZから作られる正方形の和は、AG, GDから作られる正方形の和の2倍である。
ἴση δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΔΒ·
そして、DZはDBに等しい。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
したがって、 AD, DBから作られる正方形の和は、AG, GDから作られる正方形の和の2倍である。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου·
したがって、もし直線が等しい部分と等しくない部分とに分割されるならば、全体の等しくない分割線分から作られる正方形の和は、半分の線分から作られる正方形と、分割点（等分点と不等分点）の間の線分から作られる正方形との和の2倍である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。