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에우클레이데스 · 기하학 원론 §2.prop.9

부등분된 두 선분 상의 정사각형의 합에 대한 증명

316개 구절 중 31번째 · 그리스어

요약

직선이 이등분 및 부등분될 때, 부등분된 두 선분 상에 그려진 정사각형들의 합은 절반의 선분 상에 그려진 정사각형과 두 분할점 사이의 선분 상에 그려진 정사각형의 합의 두 배와 같음을 증명한다.

§2.prop.9ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου.
만약 어떤 직선이 이등분 및 부등분으로 분할된다면, 전체 직선의 부등분된 선분들 상에 그려진 정사각형들의 합은, 그 절반의 선분 상에 그려진 정사각형과 분할점들 사이의 선분 상에 그려진 정사각형의 합의 두 배이다.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ·
왜냐하면 어떤 직선 AB가 C점에서는 이등분되고, D점에서는 부등분된다고 하자.
λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΕ, καὶ κείσθω ἴση ἑκατέρᾳ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ τῇ ΕΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΖ, διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Γ, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΕΓ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν·
나는 말한다, AD, DB 상에 그려진 정사각형들의 합은 AC, CD 상에 그려진 정사각형들의 합의 두 배이다.왜냐하면 C점으로부터 AB에 직각으로 GE가 그어지고, 그것은 AC, GB 각각과 같게 놓이며, EA, EB가 연결되고, D점을 지나 EG에 평행하게 DZ가 그어지고, Z점을 지나 AB에 평행하게 ZH가 그어지며, AZ가 연결되었다고 하자. 그리고 AG가 GE와 같으므로, 각 EAG 또한 각 AEG와 같다. 그리고 G에서의 각이 직각이므로, 남은 각 EAG, AEG의 합은 한 직각과 같다.
καί εἰσιν ἴσαι·
그리고 그 둘은 같다.
ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΑ, ΓΑΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς·
그러므로 각 GEA, GAE 각각은 반직각이다. 바로 같은 이유로 각 GEB, EBG 각각 또한 반직각이다.
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ ὀρθή ἐστιν.
그러므로 전체 각 AEB는 직각 이다.
καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΓΒ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΖΗ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς·
그리고 각 HEZ는 반직각이고, 각 EHZ는 직각이므로(왜냐하면 안쪽 대각인 각 EGB와 같기 때문이다), 남은 각 EZH 또한 반직각이다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΗ·
그러므로 각 HEZ는 각 EZH와 같다.
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση.
따라서 변 EH 또한 HZ와 같다.
πάλιν ἐπεὶ ἡ πρὸς τῷ β γωνία ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ· ἴση γὰρ πάλιν ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΓΒ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΖΔ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς·
다시, B에서의 각은 반직각이고, 각 ZDB는 직각이므로(왜냐하면 다시 안쪽 대각인 각 EGB와 같기 때문이다), 남은 각 BZD 또한 반직각이다.
ἴση ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΒ·
그러므로 B에서의 각은 각 DZB와 같다.
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΖΔ πλευρᾷ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση.
따라서 변 ZD 또한 변 DB와 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΓ τῷ ἀπὸ ΓΕ·
그리고 AG가 GE와 같으므로, AG 상에 그려진 정사각형 또한 GE 상에 그려진 정사각형과 같다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΕ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία·
그러므로 AG, GE 상에 그려진 정사각형들의 합은 AG 상에 그려진 정사각형의 두 배이다. 그런데 AG, GE 상에 그려진 정사각형들의 합은 EA 상에 그려진 정사각형과 같다(왜냐하면 각 AGE가 직각이기 때문이다).
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ, ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ·
그러므로 EA 상에 그려진 정사각형은 AG 상에 그려진 정사각형의 두 배이다. 다시, EH가 HZ와 같으므로, EH 상에 그려진 정사각형 또한 HZ 상에 그려진 정사각형과 같다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνου.
그러므로 EH, HZ 상에 그려진 정사각형들의 합은 HZ 상에 그려진 정사각형의 두 배이다.
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ τετραγώνοις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον·
그런데 EH, HZ 상에 그려진 정사각형들의 합은 EZ 상에 그려진 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ. ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ ΓΔ·
그러므로 EZ 상에 그려진 정사각형은 HZ 상에 그려진 정사각형의 두 배이다. 그리고 HZ는 GD와 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
그러므로 EZ 상에 그려진 정사각형은 GD 상에 그려진 정사각형의 두 배이다. 또한 EA 상에 그려진 정사각형 역시 AG 상에 그려진 정사각형의 두 배이다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΖ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
그러므로 AE, EZ 상에 그려진 정사각형들의 합은 AC, CD 상에 그려진 정사각형들의 합의 두 배이다.
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία·
그런데 AE, EZ 상에 그려진 정사각형들의 합은 AZ 상에 그려진 정사각형과 같다(왜냐하면 각 AEZ가 직각이기 때문이다).
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΖ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία·
그러므로 AZ 상에 그려진 정사각형은 AC, CD 상에 그려진 정사각형들의 합의 두 배이다. 그런데 AD, DZ 상에 그려진 정사각형들의 합은 AZ 상에 그려진 정사각형과 같다(왜냐하면 D에서의 각이 직각이기 때문이다).
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΖ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
그러므로 AD, DZ 상에 그려진 정사각형들의 합은 AC, CD 상에 그려진 정사각형들의 합의 두 배이다.
ἴση δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΔΒ·
그리고 DZ는 DB와 같다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων. ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου·
그러므로 AD, DB 상에 그려진 정사각형들의 합은 AC, CD 상에 그려진 정사각형들의 합의 두 배이다.그러므로 만약 어떤 직선이 이등분 및 부등분으로 분할된다면, 전체 직선의 부등분된 선분들 상에 그려진 정사각형들의 합은, 그 절반의 선분 상에 그려진 정사각형과 분할점들 사이의 선분 상에 그려진 정사각형의 합의 두 배이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.

어휘·문법 주석

  1. §2.prop.9τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα — 주어인 τὰ τετράγωνα는 중성 복수형으로, 부등분된 두 선분 상에 그려지는 각 정사각형들의 '합'을 집합적으로 나타낸다. 이에 대응하여 서술어 διπλάσιά ἐστι 역시 중성 복수 주어에 일치하는 복수형을 취하고 있다.
  2. §2.prop.9λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΕΓ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν· καί εἰσιν ἴσαι — 직각삼각형 ACG에서 직각을 제외한 나머지 두 각의 합이 한 직각과 같고, 또한 그 둘이 서로 같다는 기하학적 추론을 보여준다. καί εἰσιν ἴσαι("그리고 그것들은 같다")는 이등변삼각형의 밑각이 서로 같다는 앞선 전제를 재확인하며, 각 각이 반직각(45도)임을 이끌어내기 위한 긴밀한 논리적 연결이다.
  3. §2.prop.9τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον — 평행선과 가로지르는 선에 의해 생기는 동위각(또는 안쪽 대각)을 가리키는 기하학적 전문 표현. "안쪽이고 맞은편에 있는 [각]에"를 뜻하며, 여기서는 평행선 EG와 DZ를 가로지르는 선 AB에 의해 생기는 동위각(각 EGB)을 가리켜 그것과 같음을 설명한다.

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에우클레이데스, 기하학 원론 §2.prop.9. Humanitext Reader, https://reader.humanitext.ai/ko/text/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg001.humanitext-grc2:2.prop.9

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