§2.prop.4ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
もし直線が任意に分割されるならば、全体から作られる正方形は、各線分から作られる正方形（たちの和）と、それらの線分によって囲まれる直角四辺形の二倍との和に等しい。
εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
なぜなら、直線ABがC点で任意に分割されているとする。 私は言う、ABから作られる正方形は、AC, CBから作られる正方形（たちの和）と、AC, CBによって囲まれる直角四辺形の二倍との和に等しいと。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Γ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΕΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ, διὰ δὲ τοῦ Η ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΚ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΖ τῇ ΑΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΔ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΔΒ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΑ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση·
なぜなら、ABから正方形ADEBが記述され、 BDが結ばれ、Cを通ってAD, EBのいずれか一方に平行にCZが引かれ、Hを通ってAB, DEのいずれか一方に平行にQKが引かれたとする。 そして、CZはADに平行であり、それらにBDが交わっているから、外角であるGHBは、内対角である ADBに等しい。 しかし、角ADBは角ABDに等しい。 なぜなら辺BAもADに等しいからである。
καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΗΒΓ ἐστιν ἴση·
したがって、角GHBも角HBGに等しい。
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΓ πλευρᾷ τῇ ΓΗ ἐστιν ἴση·
ゆえに辺BCも辺GHに等しい。
ἀλλʼ ἡ μὲν ΓΒ τῇ ΗΚ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΓΗ τῇ ΚΒ·
しかし、一方ではGBは HKに等しく、他方ではGHはKBに等しい。
καὶ ἡ ΗΚ ἄρα τῇ ΚΒ ἐστιν ἴση·
したがって、HKもKBに等しい。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΚΒ. λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον.
ゆえに、GHKBは等辺である。 さらに、私は言う、それは直角（四辺形）でもあると。
ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΗ τῇ ΒΚ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΚΒΓ, ΗΓΒ γωνίαι δύο ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι.
なぜなら、GHはBKに平行であるから、角KBG, HGBの和は二直角に等しい。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΚΒΓ·
そして、角 KBGは直角であるから、角BGHも直角である。
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ· ὥστε καὶ αἱ ἀπεναντίον αἱ ὑπὸ ΓΗΚ, ΗΚΒ ὀρθαί εἰσιν.
ゆえに、それらの対角である角GHK, HKBも直角である。
ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΚΒ· ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον·
したがって、GHKBは直角（四辺形）であり、また等辺であることも示された。
τετράγωνον ἄρα ἐστίν·
ゆえに、それは正方形であり、それはGBから作られるものである。
καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΘΖ τετράγωνόν ἐστιν·
まさに同じ理由によって、QZも正方形である。
καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΘΗ, τουτέστιν τῆς ΑΓ·
そして、それはQHから、すなわち ACから作られるものである。
τὰ ἄρα ΘΖ, ΚΓ τετράγωνα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ εἰσιν.
したがって、QZ, KCはAC, CBから作られる正方形である。
καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ ΗΕ, καί ἐστι τὸ ΑΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
そして、AHはHEに等しく、AHはAC, CBによるものである。
ἴση γὰρ ἡ ΗΓ τῇ ΓΒ·
なぜなら、HCはCBに等しいからである。
καὶ τὸ ΗΕ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΓ, ΓΒ·
したがって、HEもAC, CBによるものに等しい。
τὰ ἄρα ΑΗ, ΗΕ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἔστι δὲ καὶ τὰ ΘΖ, ΓΚ τετράγωνα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
ゆえに、AH, HE（の和）は、AC, CBによる直角四辺形の二倍に等しい。 そして、QZ, GKも AC, CBから作られる正方形である。
τὰ ἄρα τέσσαρα τὰ ΘΖ, ΓΚ, ΑΗ, ΗΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
したがって、これら四つのQZ, GK, AH, HEは、AC, CBから作られる正方形（たちの和）と、AC, CBによって囲まれる直角四辺形の二倍との和に等しい。
ἀλλὰ τὰ ΘΖ, ΓΚ, ΑΗ, ΗΕ ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον·
しかし、QZ, GK, AH, HEは、全体としてはADEBであり、それはABから作られる正方形である。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
したがって、ABから作られる正方形は、 AC, CBから作られる正方形（たちの和）と、AC, CBによって囲まれる直角四辺形の二倍との和に等しい。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ·
したがって、もし直線が任意に分割されるならば、全体から作られる正方形は、各線分から作られる正方形（たちの和）と、それらの線分によって囲まれる直角四辺形の二倍との和に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι. .
これが示すべきことであった。