§2.prop.4ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
만약 직선이 임의로 분할된다면, 전체 상에 그려진 정사각형은 각 선분들 상에 그려진 정사각형들과 그 선분들에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배의 합과 같다.
εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
왜냐하면, 직선 AB가 C점에서 임의로 분할되어 있다고 하자. 나는 말한다, AB 상에 그려진 정사각형은 AC, CB 상에 그려진 정사각형들과 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배의 합과 같다.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Γ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΕΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ, διὰ δὲ τοῦ Η ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΚ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΖ τῇ ΑΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΔ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΔΒ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΑ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση·
왜냐하면, AB 상에 정사각형 ADEB가 그려지고, BD가 연결되며, C를 지나 AD, EB 중 어느 하나에 평행하게 CZ가 그어지고, H를 지나 AB, DE 중 어느 하나에 평행하게 QK가 그어졌다고 하자. 그리고 CZ가 AD에 평행하고 BD가 그들과 만나므로, 외각 GHB는 내대 각 ADB와 같다. 그러나 각 ADB는 각 ABD와 같다, 왜냐하면 변 BA 또한 AD와 같기 때문이다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΗΒΓ ἐστιν ἴση·
그러므로 각 GHB 또한 각 HBG와 같다.
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΓ πλευρᾷ τῇ ΓΗ ἐστιν ἴση·
따라서 변 BC 또한 변 GH와 같다.
ἀλλʼ ἡ μὲν ΓΒ τῇ ΗΚ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΓΗ τῇ ΚΒ·
그러나 한편으로 GB는 HK와 같고, 다른 한편으로 GH는 KB와 같다.
καὶ ἡ ΗΚ ἄρα τῇ ΚΒ ἐστιν ἴση·
그러므로 HK 또한 KB와 같다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΚΒ. λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον.
따라서 GHKB는 등변이다. 나는 말한다, 그것은 또한 직각(사각형)이기도 하다고.
ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΗ τῇ ΒΚ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΚΒΓ, ΗΓΒ γωνίαι δύο ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι.
왜냐하면 GH가 BK에 평행하므로, 각 KBG, HGB는 두 직각의 합과 같다.
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΚΒΓ·
그리고 각 KBG는 직각이다.
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ·
그러므로 각 BGH 또한 직각이다.
ὥστε καὶ αἱ ἀπεναντίον αἱ ὑπὸ ΓΗΚ, ΗΚΒ ὀρθαί εἰσιν.
따라서 그 대각들인 각 GHK, HKB 또한 직각이다.
ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΚΒ·
그러므로 GHKB는 직각(사각형)이다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον·
그리고 그것은 등변임이 증명되었다.
τετράγωνον ἄρα ἐστίν·
그러므로 그것은 정사각형이다.
καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΘΖ τετράγωνόν ἐστιν·
그리고 그것은 GB 상에 그려진 것이다. 바로 같은 이유로 QZ 또한 정사각형이다.
καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΘΗ, τουτέστιν τῆς ΑΓ·
그리고 그것은 QH, 즉 AC 상에 그려진 것이다.
τὰ ἄρα ΘΖ, ΚΓ τετράγωνα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ εἰσιν.
그러므로 QZ, KC는 AC, CB 상에 그려진 정사각형들이다.
καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ ΗΕ, καί ἐστι τὸ ΑΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἴση γὰρ ἡ ΗΓ τῇ ΓΒ· καὶ τὸ ΗΕ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΓ, ΓΒ·
그리고 AH가 HE와 같고, AH는 AC, CB에 의한 직사각형이므로 (왜냐하면 HC가 CB와 같기 때문이다), HE 또한 AC, CB에 의한 직사각형과 같다.
τὰ ἄρα ΑΗ, ΗΕ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἔστι δὲ καὶ τὰ ΘΖ, ΓΚ τετράγωνα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
그러므로 AH, HE는 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 같다. 그리고 QZ, GK 또한 AC, CB 상에 그려진 정사각형들이다.
τὰ ἄρα τέσσαρα τὰ ΘΖ, ΓΚ, ΑΗ, ΗΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
그러므로 이 네 도형 QZ, GK, AH, HE는 AC, CB 상에 그려진 정사각형들과 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배의 합과 같다.
ἀλλὰ τὰ ΘΖ, ΓΚ, ΑΗ, ΗΕ ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον·
그러나 QZ, GK, AH, HE는 전체 ADEB이며, 그것은 AB 상에 그려진 정사각형이다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
그러므로 AB 상에 그려진 정사각형은 AC, CB 상에 그려진 정사각형들과 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배의 합과 같다.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ·
그러므로 만약 직선이 임의로 분할된다면, 전체 상에 그려진 정사각형은 각 선분들 상에 그려진 정사각형들과 그 선분들에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배의 합과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι. .
이것이 보여야 할 것이었다.