§2.prop.11τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.
与えられた直線を、全体の線分と一方の線分とで囲まれる長方形が、残りの線分から作られる正方形に等しくなるように切ること。
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ·
ἔστω 与えられた直線がABであるとする。
δεῖ δὴ τὴν ΑΒ τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.
このとき、ABを切らなければならない、全体の線分と一方の線分とで囲まれる長方形が、残りの線分から作られる正方形に等しくなるように。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΒΔΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διήχθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον τὸ ΖΘ, καὶ διήχθω ἡ ΗΘ ἐπὶ τὸ Κ·
なぜなら、ABから正方形ABDGが作られたとし、AGがE点において二等分されたとし、BEが結ばれたとする。 そして、GAがZまで延長され、BEに等しいEZが置かれたとし、AZから正方形ZThが作られたとし、HThがKまで延長されたとする。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ τετραγώνῳ.
私は言う、ABはThにおいて切られており、AB, BThで囲まれる長方形を、AThから作られる正方形に等しくすると。
ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΖΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ.
なぜなら、直線AGがEにおいて二等分され、それにZAが付け加えられているから、GZ, ZAで囲まれる長方形とAEから作られる正方形との和は、 EZから作られる正方形に等しい。
ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΒ·
また、EZはEBに等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΕΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία·
したがって、GZ, ZAで囲まれる長方形とAEから作られる正方形との和は、EBから作られる正方形に等しい。 ところが、EBから作られる正方形に、BA, AEから作られる正方形の和は等しい（なぜなら、Aにおける角は直角だからである）。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ·
したがって、GZ, ZAで囲まれる長方形とAEから作られる正方形との和は、 BA, AEから作られる正方形の和に等しい。 共通の、AEから作られる正方形が引かれたとする。
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.
したがって、残りの、GZ, ZAで囲まれる長方形は、ABから作られる正方形に等しい。
καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ τὸ ΖΚ· ἴση γὰρ ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ·
そして、GZ, ZAで囲まれる長方形とはZKである（なぜなら、AZはZHに等しいからである）。
τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ τὸ ΑΔ·
また、ABから作られる正方形とはADである。
τὸ ἄρα ΖΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΚ·
したがって、ZKはADに等しい。 共通の AKが引かれたとする。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΘ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν.
したがって、残りのZThはThDに等しい。
καί ἐστι τὸ μὲν ΘΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ· ἴση γὰρ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ·
そして、ThDとはAB, BThで囲まれる長方形である（なぜなら、ABはBDに等しいからである）。
τὸ δὲ ΖΘ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ·
また、ZThとはAThから作られる正方形である。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΘΑ τετραγώνῳ.
したがって、AB, BThで囲まれる長方形は、ThAから作られる正方形に等しい。
ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΘΑ τετραγώνῳ·
したがって、与えられた直線ABはThにおいて切られており、 AB, BThで囲まれる長方形を、ThAから作られる正方形に等しくする。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これが作図すべきことであった。
§2.prop.12ἐν τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν, ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐκτὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ἀμβλείᾳ γωνίᾳ.
鈍角三角形において、鈍角に対する辺から作られる正方形は、鈍角をはさむ辺から作られる正方形の和よりも、鈍角をはさむ辺のうち垂線が落ちる方の1辺と、垂線によって鈍角の外側に切り取られる線分とで囲まれる長方形の2倍だけ大きい。
ἔστω ἀμβλυγώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἀμβλεῖαν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὴν ΓΑ ἐκβληθεῖσαν κάθετος ἡ ΒΔ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
鈍角三角形ABGが、BAGを鈍角として持つとする。 そして、B点からGAの延長線上に垂線BDが引かれたとする。 私は言う、BGから作られる正方形は、BA, AGから作られる正方形の和よりも、GA, ADで囲まれる長方形の2倍だけ大きいと。
ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΓΑ τέτμηται, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Α σημεῖον, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
なぜなら、直線GAが、任意に、A点において切られているから、DGから作られる正方形は、 GA, ADから作られる正方形の和と、GA, ADで囲まれる長方形の2倍との和に等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ·
共通の、DBから作られる正方形が加えられたとする。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ.
したがって、GD, DBから作られる正方形の和は、GA, AD, DBから作られる正方形の和と、GA, ADの2倍との和に等しい。
ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία·
ところが、GD, DBから作られる正方形の和に、GBから作られる正方形は等しい（なぜなら、Dにおける角は直角だからである）。
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
また、AD, DBから作られる正方形の和に、ABから作られる正方形は等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ·
したがって、GBから作られる正方形は、GA, ABから作られる正方形の和と、GA, ADで囲まれる長方形の2倍との和に等しい。
ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τῶν ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ τετραγώνων μεῖζόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
よって、GBから作られる正方形は、GA, ABから作られる正方形の和よりも、GA, ADで囲まれる長方形の2倍だけ大きい。
ἐν ἄρα τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν, ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐκτὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ἀμβλείᾳ γωνίᾳ·
したがって、鈍角三角形において、鈍角に対する辺から作られる正方形は、鈍角をはさむ辺から作られる正方形の和よりも、鈍角をはさむ辺のうち垂線が落ちる方の1辺と、垂線によって鈍角の外側に切り取られる線分とで囲まれる長方形の2倍だけ大きい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。